Determine: A probabilidade de encontramos pelo menos 2 defeitos em 30 chapas inspecionadas;

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa questão juntos. Você quer saber qual é a probabilidade de encontrar pelo menos 2 defeitos em 30 chapas inspecionadas. Vamos usar conceitos de Probabilidade Binomial para isso. Precisaremos entender como calcular probabilidades de eventos específicos acontecerem em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos 2 defeitos”. Isso quer dizer que podemos ter 2, 3, 4, …, até 30 defeitos nas chapas. Mas calcular todas essas possibilidades pode ser trabalhoso. Então, uma maneira mais simples é calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de ter menos de 2 defeitos (ou seja, 0 ou 1 defeito) e subtrair isso de 1.

Passo 3

Vamos definir a Distribuição Binomial, que é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso). No nosso caso:
  • n = 30 (número de chapas inspecionadas)
  • k é o número de defeitos (neste caso, 0 ou 1)
  • p é a probabilidade de uma chapa ter defeito
  • (1 - p) é a probabilidade de uma chapa não ter defeito
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k defeitos em n chapas.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de 0 defeitos:
P(0) = binom300 cdot p^0 cdot (1 - p)^30 = 1 cdot 1 cdot (1 - p)^30 = (1 - p)^30
Isso porque e qualquer número elevado a 0 é 1.

Passo 5

Agora, a probabilidade de 1 defeito:
P(1) = binom301 cdot p^1 cdot (1 - p)^29 = 30 cdot p cdot (1 - p)^29
Aqui, porque temos 30 maneiras de escolher uma chapa com defeito.

Passo 6

Agora, somamos as probabilidades de ter 0 ou 1 defeito:
P(menos de 2 defeitos) = P(0) + P(1) = (1 - p)^30 + 30 cdot p cdot (1 - p)^29

Passo 7

Finalmente, a probabilidade de ter pelo menos 2 defeitos é o complementar dessa soma:
P(pelo menos 2 defeitos) = 1 - P(menos de 2 defeitos) = 1 - [(1 - p)^30 + 30 cdot p cdot (1 - p)^29]

Resposta

A probabilidade de encontrar pelo menos 2 defeitos em 30 chapas inspecionadas é:
P(pelo menos 2 defeitos) = 1 - [(1 - p)^30 + 30 cdot p cdot (1 - p)^29]

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