Considere o peso de um puma macho adulto como uma variável aleatória com distribuição N(mu, sigma^2). Sabe-se que 33,0% destes animais tem peso inferior a 82.8 kg e também que 0,4 % tem peso superior a 98.25 kg . Calcule mu e sigma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde o peso de um puma macho adulto segue uma distribuição normal, que é tipo uma curva em forma de sino onde a maioria dos valores fica perto da média. A gente precisa descobrir qual é a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma) dessa distribuição. Para isso, vamos usar duas informações: 33% dos pumas pesam menos de 82,8 kg e 0,4% pesam mais de 98,25 kg. Vamos precisar usar a tabela da distribuição normal padrão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que numa distribuição normal, a gente pode transformar nossos valores para a escala padrão usando a fórmula:
Z = X - musigma
Aqui, Z é um valor padrão que nos diz quantos desvios padrão X está da média.

Passo 3

Vamos usar a primeira informação: 33% dos pumas pesam menos de 82,8 kg. Isso quer dizer que:
P(X < 82,8) = 0,33
Usando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos o valor de Z que corresponde a uma probabilidade acumulada de 0,33. Esse valor de Z é aproximadamente -0,44.
Então, temos:
-0,44 = 82,8 - musigma

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda informação: 0,4% dos pumas pesam mais de 98,25 kg. Isso equivale a dizer que 99,6% pesam até 98,25 kg.
P(X < 98,25) = 0,996
Consultando a tabela da distribuição normal, o valor de Z correspondente a 0,996 é aproximadamente 2,75.
Então:
2,75 = 98,25 - musigma

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. -0,44 = 82,8 - musigma
  2. 2,75 = 98,25 - musigma
Podemos resolver esse sistema. Primeiro, isolamos mu na primeira equação:
-0,44sigma = 82,8 - mu mu = 82,8 + 0,44sigma

Passo 6

Substituímos mu na segunda equação:
2,75 = 98,25 - (82,8 + 0,44sigma)sigma 2,75 = 98,25 - 82,8 - 0,44sigmasigma 2,75 = 15,45 - 0,44sigmasigma 2,75sigma = 15,45 - 0,44sigma 2,75sigma + 0,44sigma = 15,45 3,19sigma = 15,45 sigma = 15,453,19 sigma approx 4,843 kg

Passo 7

Agora, usamos o valor de sigma para encontrar mu:
mu = 82,8 + 0,44 times 4,843 mu approx 82,8 + 2,134 mu approx 84,934 kg

Resposta

A média ( mu) do peso dos pumas é aproximadamente 84,93 kg e o desvio padrão ( sigma) é aproximadamente 4,84 kg.

Exercícios relacionados