Em cada um dos problemas abaixo, encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e depois resolva-a utilizando este valor de b :
(t y^2 + b t^2 y) dt + (t + y) t^2 dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar o valor de que faz essa equação ser exata. Depois disso, vamos resolver a equação usando esse valor de . O conteúdo que a gente vai usar aqui é de equações diferenciais exatas. Vamos precisar saber como verificar se uma equação é exata e como resolver uma vez que ela for exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação dada:

Passo 3

Para a equação ser exata, a derivada parcial de em relação a precisa ser igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :
Primeiro, simplificamos :
Agora, derivamos em relação a :

Passo 6

Agora, igualamos as duas derivadas para encontrar :
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por (considerando ):

Passo 7

Com , a equação se torna exata. Agora, vamos resolver a equação. Sabemos que se a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece na integração.

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos:
Observamos que não tem equivalente no lado direito, o que indica que . No entanto, isso sugere que houve um erro na integração anterior. Vamos corrigir.

Passo 9

Na verdade, integrando em relação a :
Agora, derivando com relação a :
Assim, temos:
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 10

Portanto, a solução geral da equação é:
Podemos escrever de forma mais simples:

Resposta

O valor de é e a solução geral da equação é , onde é uma constante.

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