Em cada um dos problemas abaixo, encontre o valor de
para o qual a equação dada é exata e depois resolva-a utilizando este valor de
:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar o valor de
que faz essa equação ser exata. Depois disso, vamos resolver a equação usando esse valor de
. O conteúdo que a gente vai usar aqui é de equações diferenciais exatas. Vamos precisar saber como verificar se uma equação é exata e como resolver uma vez que ela for exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação dada:
Passo 3
Para a equação ser exata, a derivada parcial de
em relação a
precisa ser igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Primeiro, simplificamos
:
Agora, derivamos em relação a
:
Passo 6
Agora, igualamos as duas derivadas para encontrar
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
):
Passo 7
Com
, a equação se torna exata. Agora, vamos resolver a equação. Sabemos que se a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos:
Observamos que
não tem equivalente no lado direito, o que indica que
. No entanto, isso sugere que houve um erro na integração anterior. Vamos corrigir.
Passo 9
Na verdade, integrando
em relação a
:
Agora, derivando com relação a
:
Assim, temos:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 10
Portanto, a solução geral da equação é:
Podemos escrever de forma mais simples:
Resposta
O valor de
é
e a solução geral da equação é
, onde
é uma constante.