Para cada equação abaixo, determine se ela é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma equação diferencial é exata e, se for, encontrar a solução. Isso tudo está relacionado com o conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar e resolver uma equação desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos ver que temos duas funções multiplicadas por
e
, respectivamente. Vamos chamar:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos verificar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos calcular
e
e ver se são iguais.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Comparando
e
:
Vemos que
. Portanto, a equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Integrando
:
Vamos integrar termo a termo:
Essas integrais podem ser resolvidas usando técnicas de integração por partes e equações diferenciais.
Passo 8
Após realizar as integrais, obtemos:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que:
Passo 9
Substituindo
de volta na expressão de
:
Passo 10
A solução geral da equação diferencial exata é dada por:
Portanto:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.