Para cada equação abaixo, determine se ela é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução.
(y * e^(t * y) * cos(2 * t) - 2 * e^(t * y) * sen(2 * t) + 2 * t) * dt + (t * e^(t * y) * cos(2 * t) - 3) * dy = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma equação diferencial é exata e, se for, encontrar a solução. Isso tudo está relacionado com o conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar e resolver uma equação desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos ver que temos duas funções multiplicadas por e , respectivamente. Vamos chamar:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos verificar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, precisamos calcular e e ver se são iguais.

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :

Passo 5

Comparando e :
Vemos que . Portanto, a equação é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Integrando :
Vamos integrar termo a termo:
Essas integrais podem ser resolvidas usando técnicas de integração por partes e equações diferenciais.

Passo 8

Após realizar as integrais, obtemos:
Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 10

A solução geral da equação diferencial exata é dada por:
Portanto:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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