Determine o valor de L que torna f contínua em (0,0)
f(x, y) = { (x^3 - y^2 * x) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; L se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede e identificar os conceitos que vamos usar. A função f(x, y) está definida de forma diferente para pontos distintos de (0,0) e para o próprio ponto (0,0). Queremos encontrar o valor de L que faz com que f seja contínua em (0,0). Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções de várias variáveis, que envolve calcular o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Para que a função f seja contínua em (0,0), o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) deve ser igual a f(0, 0), ou seja, L. Matemáticamente, isso é expresso por:

Passo 3

Vamos calcular esse limite. Uma técnica eficiente para limites em várias variáveis é converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares, onde e , com . Isso simplifica a expressão e facilita o cálculo do limite.

Passo 4

Substituindo as coordenadas polares na função, temos:

Passo 5

Simplificamos o denominador usando a identidade trigonométrica :

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite quando :
Isso ocorre porque faz com que todo o termo multiplique por zero, independentemente do valor de theta.

Passo 7

Como o limite da função quando é 0, para que f seja contínua em (0,0), devemos ter:

Resposta

O valor de L que torna f contínua em (0,0) é 0.

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