Determine o valor de
que torna
contínua em
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede e identificar os conceitos que vamos usar. A função
está definida de forma diferente para pontos distintos de
e para o próprio ponto
. Queremos encontrar o valor de
que faz com que
seja contínua em
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções de várias variáveis, que envolve calcular o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Para que a função
seja contínua em
, o limite de
quando
tende a
deve ser igual a
, ou seja,
. Matemáticamente, isso é expresso por:
Passo 3
Vamos calcular esse limite. Uma técnica eficiente para limites em várias variáveis é converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares, onde
e
, com
. Isso simplifica a expressão e facilita o cálculo do limite.
Passo 4
Substituindo as coordenadas polares na função, temos:
Passo 5
Simplificamos o denominador usando a identidade trigonométrica
:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite quando
:
Isso ocorre porque
faz com que todo o termo multiplique por zero, independentemente do valor de
.
Passo 7
Como o limite da função quando
é
, para que
seja contínua em
, devemos ter:
Resposta
O valor de
que torna
contínua em
é
.