Para cada uma das seguintes funções
esboce primeiro o gráfico de
, depois o gráfico
e finalmente o gráfico de
.
(a)
(b)
©
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre funções e seus gráficos. Precisamos desenhar três gráficos para cada função dada: o gráfico da função original
, depois o gráfico da função valor absoluto
, e por fim, o gráfico de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como alterações na função original mudam o gráfico dela. Vamos começar com a parte (a), onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função original
. Essa é uma função quadrática, que pode ser escrita na forma padrão
se a gente multiplicar os termos.
Multiplicando:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico de
. Sabemos que é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de
é positivo.
Para desenhar:
- Encontrar as raízes da função resolvendo
:
Então, as raízes são
e
.
- Encontrar o vértice da parábola. A coordenada x do vértice é:
Substituindo na função para encontrar y:
Então, o vértice é
.
- Plotar as raízes e o vértice e desenhar a parábola.
Passo 4
Agora vamos para
. O gráfico de
é similar ao de
, mas toda vez que
está abaixo do eixo x (ou seja,
), ele é refletido acima do eixo x.
Então:
- Onde
, o gráfico permanece igual. - Onde
, invertemos o valor para positivo.
No nosso caso, entre as raízes
e
,
é negativa. Assim, nessa região, o gráfico de
será uma parábola voltada para cima igual à original, mas refletida para cima.
Passo 5
Por fim, vamos desenhar
. Primeiro, vamos simplificar essa expressão:
Observando que:
- Se
, então , então:
- Se
, então , então:
Portanto,
é igual a
quando
é positivo ou zero, e zero quando
é negativo. Isso significa que estamos pegando apenas a parte positiva do gráfico de
e zerando a parte negativa.
Resposta
Então, para a função
:
- O gráfico de
é uma parábola que cruza o eixo x em e , com vértice em . - O gráfico de
reflete a parte da parábola que estava abaixo do eixo x acima dele, resultando em uma parábola “em V”. - O gráfico de
mostra apenas a parte da parábola que está acima do eixo x, e a parte que estava abaixo fica no eixo x (valor zero).