Para cada uma das seguintes funções esboce primeiro o gráfico de , depois o gráfico
e finalmente o gráfico de .
(a)
(b)
©
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre funções e seus gráficos. Precisamos desenhar três gráficos para cada função dada: o gráfico da função original , depois o gráfico da função valor absoluto , e por fim, o gráfico de . Para resolver isso, vamos precisar entender como alterações na função original mudam o gráfico dela. Vamos começar com a parte (a), onde .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função original . Essa é uma função quadrática, que pode ser escrita na forma padrão se a gente multiplicar os termos.
Multiplicando:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico de . Sabemos que é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de é positivo.
Para desenhar:
  • Encontrar as raízes da função resolvendo :
Então, as raízes são e .
  • Encontrar o vértice da parábola. A coordenada x do vértice é:
Substituindo na função para encontrar y:
Então, o vértice é .
  • Plotar as raízes e o vértice e desenhar a parábola.

Passo 4

Agora vamos para . O gráfico de é similar ao de , mas toda vez que está abaixo do eixo x (ou seja, ), ele é refletido acima do eixo x.
Então:
  • Onde , o gráfico permanece igual.
  • Onde , invertemos o valor para positivo.
No nosso caso, entre as raízes e , é negativa. Assim, nessa região, o gráfico de será uma parábola voltada para cima igual à original, mas refletida para cima.

Passo 5

Por fim, vamos desenhar . Primeiro, vamos simplificar essa expressão:
Observando que:
  • Se , então , então:
  • Se , então , então:
Portanto, é igual a quando é positivo ou zero, e zero quando é negativo. Isso significa que estamos pegando apenas a parte positiva do gráfico de e zerando a parte negativa.

Resposta

Então, para a função :
  1. O gráfico de é uma parábola que cruza o eixo x em e , com vértice em .
  2. O gráfico de reflete a parte da parábola que estava abaixo do eixo x acima dele, resultando em uma parábola “em V”.
  3. O gráfico de mostra apenas a parte da parábola que está acima do eixo x, e a parte que estava abaixo fica no eixo x (valor zero).

Exercícios relacionados

Usando uma ferramenta gráfica, traçar as curvas definidas pelas equações dadas, identificando as que representam o gráfico de uma função . Neste caso, determine a função, o domínio e o conjunto imagem.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Se , determine:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
Determinar o domínio das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Construir o gráfico, determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
(a)
(b)
©