Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre funções e seus gráficos. Precisamos desenhar três gráficos para cada função dada: o gráfico da função original , depois o gráfico da função valor absoluto , e por fim, o gráfico de . Para resolver isso, vamos precisar entender como alterações na função original mudam o gráfico dela. Vamos começar com a parte (a), onde .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função original . Essa é uma função quadrática, que pode ser escrita na forma padrão se a gente multiplicar os termos.
Multiplicando:
Então, .
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico de . Sabemos que é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de é positivo.
Para desenhar:
Encontrar as raízes da função resolvendo :
Então, as raízes são e .
Encontrar o vértice da parábola. A coordenada x do vértice é:
Substituindo na função para encontrar y:
Então, o vértice é .
Plotar as raízes e o vértice e desenhar a parábola.
Passo 4
Agora vamos para . O gráfico de é similar ao de , mas toda vez que está abaixo do eixo x (ou seja, ), ele é refletido acima do eixo x.
Então:
Onde , o gráfico permanece igual.
Onde , invertemos o valor para positivo.
No nosso caso, entre as raízes e , é negativa. Assim, nessa região, o gráfico de será uma parábola voltada para cima igual à original, mas refletida para cima.
Passo 5
Por fim, vamos desenhar . Primeiro, vamos simplificar essa expressão:
Observando que:
Se , então , então:
Se , então , então:
Portanto, é igual a quando é positivo ou zero, e zero quando é negativo. Isso significa que estamos pegando apenas a parte positiva do gráfico de e zerando a parte negativa.
Resposta
Então, para a função :
O gráfico de é uma parábola que cruza o eixo x em e , com vértice em .
O gráfico de reflete a parte da parábola que estava abaixo do eixo x acima dele, resultando em uma parábola “em V”.
O gráfico de mostra apenas a parte da parábola que está acima do eixo x, e a parte que estava abaixo fica no eixo x (valor zero).