Para cada um dos sinais a seguir:
- Esboce o espectro de
.
- Esboce o espectro do sinal modulado em AM-SC, com portadora dada por
.
- Apresente as bandas laterais superiores e inferiores no espectro do sinal AM.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Oi! Vamos resolver o exercício que envolve análise de sinais e modulação AM-SC. A questão pede para esboçarmos os espectros dos sinais $ m(t) $, dos sinais modulados em AM-SC com uma portadora de $ \cos(10.000 t) $ e identificar as bandas laterais superiores e inferiores no espectro do sinal AM. Para isso, vamos precisar entender conceitos de espectro de sinais, modulação AM-SC e como as frequências se comportam nesse processo.
Passo 2
Vamos começar analisando o item a) onde $ m(t) = \cos(1000 t) $. Primeiro, precisamos esboçar o espectro de $ m(t) $. Sabemos que o espectro de um cossenoide puro é composto por impulsos nas frequências positivas e negativas correspondentes.
Passo 3
Para modulação AM-SC, o sinal $ m(t) $ é multiplicado pela portadora $ \cos(10.000 t) $. Utilizando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, obtemos duas novas frequências no espectro do sinal modulado: $ 10.000 t + 1000 t = 11.000 t $ e $ 10.000 t - 1000 t = 9.000 t $.
Passo 4
As bandas laterais são as frequências adicionadas e subtraídas da portadora. No nosso caso, temos:
- Banda lateral superior (BLS): 11.000 Hz
- Banda lateral inferior (BLL): 9.000 Hz
Passo 5
Agora, vamos para o item b) onde $ m(t) = 2 \cos(1000 t) + \cos(2000 t) $. Aqui, temos uma combinação de dois cossenos com frequências diferentes.
Passo 6
Primeiro, esboçamos o espectro de $ m(t) $. Teremos picos nas frequências de 1000 Hz e 2000 Hz, com amplitudes ajustadas conforme os coeficientes.
Passo 7
Na modulação AM-SC, multiplicamos $ m(t) $ pela portadora $ \cos(10.000 t) $. Aplicando a identidade trigonométrica para cada termo:
Passo 8
Assim, no espectro do sinal modulado, teremos:
- Portadora: 10.000 Hz
- Bandas laterais: 11.000 Hz, 9.000 Hz, 12.000 Hz e 8.000 Hz
Passo 9
Vamos para o item c) onde $ m(t) = \cos(1000 t) \cos(3000 t) $. Aqui, temos a multiplicação de dois cossenos, o que já se assemelha ao processo de modulação.
Passo 10
Primeiro, simplificamos $ m(t) $ usando a identidade trigonométrica:
Aplicando:
Então, o espectro de $ m(t) $ terá picos em 2000 Hz e 4000 Hz.
Passo 11
Para a modulação AM-SC, multiplicamos $ m(t) $ pela portadora $ \cos(10.000 t) $:
Aplicando novamente a identidade:
Passo 12
No espectro do sinal modulado, teremos:
- Portadora: 10.000 Hz
- Bandas laterais: 6.000 Hz, 8.000 Hz, 12.000 Hz e 14.000 Hz
Passo 13
Vamos para o item d) onde $ m(t) = \operatorname{sinc}(100 t) $. A função sinc é uma função importante em processamento de sinais, especialmente em transmissões ideais de banda limitada.
Passo 14
Primeiro, esboçamos o espectro de $ m(t) $. A transformada de Fourier da função sinc é uma porta retangular, representando uma banda de frequências limitada. A largura dessa banda depende dos parâmetros da função sinc.
Passo 15
Na modulação AM-SC, multiplicamos $ m(t) $ pela portadora $ \cos(10.000 t) $. No domínio da frequência, isso desloca o espectro de $ m(t) $ para cima e para baixo em relação à frequência da portadora, criando bandas laterais.
Passo 16
Como $ m(t) $ tem uma largura de banda de 100 Hz (devido ao $ \operatorname{sinc}(100 t) $), as bandas laterais no espectro modulado serão centradas em 10.000 Hz, com largura de 100 Hz para cima e para baixo.
Passo 17
Finalmente, vamos ao item e) onde $ m(t) = \exp^{-,|t|} $. Essa é uma função exponencial decrescente que é comumente usada em sinais de comunicação.
Passo 18
Primeiro, esboçamos o espectro de $ m(t) $. A transformada de Fourier de $ e^{-,|t|} $ é uma função do tipo $ \frac{2}{1 + \omega^2} $, que representa uma distribuição de energia centrada em zero com decaimento em frequências mais altas.
Passo 19
Para a modulação AM-SC, multiplicamos $ m(t) $ pela portadora $ \cos(10.000 t) $. No domínio da frequência, isso desloca o espectro de $ m(t) $ para 10.000 Hz e para -10.000 Hz, criando as bandas laterais.
Passo 20
As bandas laterais terão a mesma forma do espectro de $ m(t) $, mas centradas em 10.000 Hz e -10.000 Hz. Portanto, observaremos duas réplicas da função $ \frac{2}{1 + (\omega \pm 10.000)^2} $.
Resposta
e) $ m(t) = \exp^{-,|t|} $
- Espectro de $ m(t) $: $ \frac{2}{1 + \omega^2} $, centrado em 0 Hz.
- Espectro do sinal AM-SC: Dois espectros $ \frac{2}{1 + (\omega - 10.000)^2} $ e $ \frac{2}{1 + (\omega + 10.000)^2} $ centrados em 10.000 Hz e -10.000 Hz, respectivamente.
- Bandas laterais:
- Superior: Frequências acima de 10.000 Hz seguindo a forma de $ m(t) $
- Inferior: Frequências abaixo de 10.000 Hz seguindo a forma de $ m(t) $