Considere uma onda portadora
Volts modulando em amplitude um sinal mensagem, de frequência
radianos por segundo, de modo que a onda modulada é dada por
a) Trace a onda AM resultante, indicando os valores de tensão e de tempo do gráfico.
b) Qual o valor do índice de modulação e da amplitude do sinal mensagem?
b) Qual o valor do índice de modulação e da amplitude do sinal mensagem?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma onda portadora $ c(t) = 50 \cos(100\pi t) $ volts que está sendo modulada em amplitude por um sinal mensagem com frequência $ \omega_M = 2\pi $ rad/s. A onda modulada é dada por:
Vamos precisar entender um pouco sobre modulação AM (Amplitude Modulada) e como identificar o índice de modulação e a amplitude do sinal mensagem. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte da modulação. Na modulação em amplitude, a onda portadora é variada em amplitude de acordo com o sinal mensagem. Isso significa que a amplitude da portadora vai oscilar conforme o sinal mensagem.
No nosso caso, a onda portadora é $ 50 \cos(100\pi t) $ e o sinal mensagem é $ 0,75 \cos(2\pi t) $. A expressão $ 1 + 0,75 \cos(2\pi t) $ está ajustando a amplitude da portadora conforme o sinal mensagem.
Passo 3
Agora, para traçar a onda AM resultante, precisamos considerar como a amplitude da portadora varia ao longo do tempo. A expressão geral é:
Onde:
- $ A_c $ é a amplitude da portadora (neste caso, 50 V)
- $ m $ é o índice de modulação (vamos calcular depois)
- $ \omega_M $ é a frequência do sinal mensagem (2π rad/s)
- $ \omega_c $ é a frequência da portadora (100π rad/s)
Para traçar o gráfico, você pode seguir esses passos:
- No eixo x, coloque o tempo $ t $.
- No eixo y, coloque a tensão $ s_{AM}(t) $.
- Plote a função considerando como a amplitude da portadora varia com o tempo conforme o sinal mensagem.
Passo 4
Vamos agora calcular o índice de modulação $ m $. O índice de modulação é uma medida de quanto a amplitude da portadora está sendo variada pelo sinal mensagem. A fórmula é:
Onde:
- $ A_m $ é a amplitude do sinal mensagem
- $ A_c $ é a amplitude da portadora
Na expressão da onda modulada, o termo que multiplica a portadora é $ 0,75 $. Isso significa que $ m = 0,75 $.
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a amplitude do sinal mensagem $ A_m $. Como já sabemos que $ m = 0,75 $ e $ A_c = 50 $ V, podemos rearranjar a fórmula para encontrar $ A_m $:
Resposta
a) Para traçar a onda AM $ s_{AM}(t) = 50[1 + 0,75 \cos(2\pi t)] \cos(100\pi t) $, plote a intensidade da tensão $ s_{AM}(t) $ no eixo y em função do tempo $ t $ no eixo x, observando que a amplitude da portadora oscila entre 50 V e 87,5 V conforme o sinal mensagem.
b) O índice de modulação é $ m = 0,75 $ e a amplitude do sinal mensagem é $ A_m = 37,5 $ V.