Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o seu conjunto solução usando o método da matriz inversa.
© rlr2 x-3 y-5 z & =-19 -x+2 y+3 z & =12 x-y-z & =-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações lineares usando o método da matriz inversa. O sistema que temos é:
2x - 3y - 5z = -19 -x + 2y + 3z = 12 x - y - z = -4
Para resolver esse sistema, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes e matrizes inversas. Vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular sua inversa e multiplicar pela matriz dos termos constantes para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema na forma matricial A = 2 & -3 & -5 -1 & 2 & 3 1 & -1 & -1 , x = x y z , b = -19 12 -4 , onde:

Passo 3

Para encontrar x = A^-1 cdot b , precisamos calcular a matriz inversa de , denotada por . A relação é:
Então, vamos calcular .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o determinante de det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , que é essencial para encontrar a inversa. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = 2(2 cdot (-1) - 3 cdot (-1)) - (-3)((-1) cdot (-1) - 3 cdot 1) + (-5)((-1) cdot (-1) - 2 cdot 1)
Aplicando os valores de = 2(-2 + 3) - (-3)(1 - 3) + (-5)(1 - 2) :
= 2(1) - (-3)(-2) + (-5)(-1)
Calculando cada parte:
= 2 - 6 + 5
= 1
Como , a matriz é inversível.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de Cof(A) = det2 & 3-1 & -1 & -det-1 & 31 & -1 & det-1 & 21 & -1 -det-3 & -5-1 & -1 & det2 & -51 & -1 & -det2 & -31 & -1 det-3 & -52 & 3 & -det2 & -5-1 & 3 & det2 & -3-1 & 2 . A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores.
Calculando os cofatores:
Cof(A) = (2 cdot (-1) - 3 cdot (-1)) & -((-1 cdot (-1) - 3 cdot 1)) & (-1 cdot (-1) - 2 cdot 1) -((-3 cdot (-1) - (-5) cdot (-1))) & (2 cdot (-1) - (-5) cdot 1) & -(2 cdot (-1) - (-3) cdot 1) ((-3 cdot 3) - (-5) cdot 2) & -((2 cdot 3) - (-5) cdot (-1)) & (2 cdot 2 - (-3) cdot (-1))
Calculando cada determinante:
= (-2 + 3) & -(1 - 3) & (1 - 2) -((3 - 5)) & (-2 + 5) & -(-2 + 3) (-9 + 10) & -(6 - 5) & (4 - 3)
= 1 & -(-2) & -1 -(-2) & 3 & -1 1 & -1 & 1
= 1 & 2 & -1 2 & 3 & -1 1 & -1 & 1
adj(A) = 1 & 2 & 1 2 & 3 & -1 -1 & -1 & 1
Agora, a adjunta de é a transposta dessa matriz:

Passo 6

Com a adjunta e o determinante, podemos encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) usando a fórmula:
A^-1 = 1 cdot 1 & 2 & 1 2 & 3 & -1 -1 & -1 & 1 = 1 & 2 & 1 2 & 3 & -1 -1 & -1 & 1
Como :

Passo 7

Agora, vamos multiplicar x = A^-1 cdot b = 1 & 2 & 1 2 & 3 & -1 -1 & -1 & 1 cdot -19 12 -4 pela matriz x = 1 cdot (-19) + 2 cdot 12 + 1 cdot (-4) = -19 + 24 - 4 = 1 para encontrar y = 2 cdot (-19) + 3 cdot 12 + (-1) cdot (-4) = -38 + 36 + 4 = 2 :
z = -1 cdot (-19) + (-1) cdot 12 + 1 cdot (-4) = 19 - 12 - 4 = 3
Calculando cada componente:

Resposta

A solução do sistema é , e .

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