Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o seu conjunto solução usando o método da matriz inversa.
(b) rx+2 y+z=1 2 x+3 y-z=2 -x-y+z=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações lineares usando o método da matriz inversa. Aqui, temos três equações com três incógnitas: , e . Para isso, precisamos montar uma matriz com os coeficientes das variáveis, encontrar sua inversa e então multiplicar essa inversa pelo vetor dos resultados das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes das variáveis em cada equação e montar a matriz dos coeficientes A = 1 & 2 & 1 2 & 3 & -1 -1 & -1 & 1 , B = 1 2 3 e o vetor dos resultados .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a matriz inversa de det(A) = 1 times (3 times 1 - (-1) times (-1)) - 2 times (2 times 1 - (-1) times (-1)) + 1 times (2 times (-1) - 3 times (-1)) det(A) = 1 times (3 - 1) - 2 times (2 - 1) + 1 times (-2 + 3) det(A) = 1 times 2 - 2 times 1 + 1 times 1 det(A) = 2 - 2 + 1 = 1 , que vamos chamar de . A inversa existe se o determinante de ( ) for diferente de zero.
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como , a matriz inversa existe.

Passo 4

Para encontrar A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , vamos usar a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante:
adj(A) = det3 & -1 -1 & 1 & -det2 & -1 -1 & 1 & det2 & 3 -1 & -1 -det2 & 1 -1 & 1 & det1 & 1 -1 & 1 & -det1 & 2 -1 & -1 det2 & 1 3 & -1 & -det1 & 1 2 & -1 & det1 & 2 2 & 3
Calculando a adjunta de adj(A) = (3 times 1 - (-1) times (-1)) & -(2 times 1 - (-1) times (-1)) & (2 times (-1) - 3 times (-1)) -(2 times 1 - (-1) times 1) & (1 times 1 - (-1) times 1) & -(1 times (-1) - 2 times 1) (2 times (-1) - 3 times 1) & -(1 times (-1) - 2 times 2) & (1 times 3 - 2 times 2) = 3 - 1 & -(2 - 1) & (-2 + 3) -(2 + 1) & (1 + 1) & -(-1 - 2) (-2 - 3) & -(-1 - 4) & (3 - 4) = 2 & -1 & 1 -3 & 2 & 3 -5 & 5 & -1 , que é a transposta da matriz dos cofatores:
A^-1 = 11 cdot 2 & -1 & 1 -3 & 2 & 3 -5 & 5 & -1 = 2 & -1 & 1 -3 & 2 & 3 -5 & 5 & -1
Calculando cada determinante:
Então,

Passo 5

Agora que temos X = A^-1 cdot B = 2 & -1 & 1 -3 & 2 & 3 -5 & 5 & -1 cdot 1 2 3 , multiplicamos essa matriz pelo vetor x = 2 times 1 + (-1) times 2 + 1 times 3 = 2 - 2 + 3 = 3 y = -3 times 1 + 2 times 2 + 3 times 3 = -3 + 4 + 9 = 10 z = -5 times 1 + 5 times 2 + (-1) times 3 = -5 + 10 - 3 = 2 para encontrar o vetor solução :
Realizando a multiplicação:

Resposta

A solução do sistema é , e .

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