Um matemático aceitou um cargo numa nova Universidade situada a 6 km da margem retilínea de um rio. O professor deseja construir uma casa que esteja a uma distância à Universidade igual à metade da distância até a margem do rio. Os possíveis locais satisfazendo esta condição pertencem a uma curva. Defina esta curva e determine sua equação em relação a algum sistema à sua escolha.
Elipse. Considerando o sistema xOy , onde o eixo Ox é a margem do rio e a Universidade se encontra no ponto Q(0,6) sobre o eixo O y, a equação da curva é
4 x^2+3(y-8)^2=48

Passo 1

Vamos lá! Temos um matemático que vai trabalhar numa universidade localizada a 6 km da margem de um rio retilíneo. Ele quer construir uma casa que esteja a uma distância da universidade igual à metade da distância até a margem do rio. Nosso objetivo é descobrir qual é a curva que representa todos os possíveis locais para essa casa e encontrar a equação dessa curva usando um sistema de coordenadas à nossa escolha.
Conteúdo da matéria: Geometria analítica, especificamente loci e curvas resultantes de relações de distância.
O que vamos precisar: Conhecimentos básicos de coordenadas cartesianas, fórmulas de distância entre pontos e entre ponto e reta, além de manipulação de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas para facilitar nossos cálculos. Vamos posicionar o rio ao longo do eixo Ox e colocar a universidade no ponto Q(0,6) no eixo Oy. Isso significa que a margem do rio está na reta y = 0 e a universidade está a 6 km acima dessa margem.

Passo 3

Agora, vamos traduzir a condição do problema em termos matemáticos. A casa deve estar a uma distância da universidade que é igual à metade da distância até a margem do rio. Ou seja:
Distância até a Universidade = 12 times Distância até a Mar>=m do Rio âéâé

Passo 4

Vamos expressar essas distâncias usando coordenadas. Suponha que a casa esteja no ponto d(Q, P) = raiz(x - 0)^2 + (y - 6)^2 = raizx^2 + (y - 6)^2 .
  • Distância até a Universidade (Q): Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
d(Mar>=m, P) = |y|
  • Distância até a Margem do Rio (reta y = 0): A distância de um ponto a uma reta horizontal é simplesmente o valor absoluto da coordenada y:

Passo 5

De acordo com a condição do problema:
raizx^2 + (y - 6)^2 = 12 |y|
Vamos eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto para simplificar a equação.

Passo 6

Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 + (y - 6)^2 = (12 y)^2
x^2 + (y - 6)^2 = 14 y^2

Passo 7

Agora, vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar a fração:
4x^2 + 4(y - 6)^2 = y^2

Passo 8

Vamos expandir o termo 4x^2 + 4(y^2 - 12y + 36) = y^2 :
4x^2 + 4y^2 - 48y + 144 = y^2

Passo 9

Agora, vamos levar todos os termos para um lado da equação para simplificar:
4x^2 + 4y^2 - 48y + 144 - y^2 = 0
4x^2 + 3y^2 - 48y + 144 = 0

Passo 10

Para deixar a equação em uma forma mais reconhecível, vamos completar o quadrado para o termo que contém y:
4x^2 + 3(y^2 - 16y) + 144 = 0
Completemos o quadrado para y^2 - 16y + 64 = (y - 8)^2 :
4x^2 + 3(y - 8)^2 - 192 + 144 = 0
Então, substituímos de volta na equação:
4x^2 + 3(y - 8)^2 - 48 = 0

Passo 11

Isolando os termos:
4x^2 + 3(y - 8)^2 = 48

Resposta

A equação da curva que representa os possíveis locais para a construção da casa é:
4x^2 + 3(y - 8)^2 = 48
Isso significa que a localização ideal está ao longo de uma elipse definida por essa equação no sistema de coordenadas escolhido.

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