Um matemático aceitou um cargo numa nova Universidade situada a 6 km da margem retilínea de um rio. O professor deseja construir uma casa que esteja a uma distância à Universidade igual à metade da distância até a margem do rio. Os possíveis locais satisfazendo esta condição pertencem a uma curva. Defina esta curva e determine sua equação em relação a algum sistema à sua escolha.
Elipse. Considerando o sistema xOy , onde o eixo Ox é a margem do rio e a Universidade se encontra no ponto sobre o eixo , a equação da curva é
Passo 1
Vamos lá! Temos um matemático que vai trabalhar numa universidade localizada a 6 km da margem de um rio retilíneo. Ele quer construir uma casa que esteja a uma distância da universidade igual à metade da distância até a margem do rio. Nosso objetivo é descobrir qual é a curva que representa todos os possíveis locais para essa casa e encontrar a equação dessa curva usando um sistema de coordenadas à nossa escolha.
Conteúdo da matéria: Geometria analítica, especificamente loci e curvas resultantes de relações de distância.
O que vamos precisar: Conhecimentos básicos de coordenadas cartesianas, fórmulas de distância entre pontos e entre ponto e reta, além de manipulação de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas para facilitar nossos cálculos. Vamos posicionar o rio ao longo do eixo Ox e colocar a universidade no ponto Q(0,6) no eixo Oy. Isso significa que a margem do rio está na reta y = 0 e a universidade está a 6 km acima dessa margem.
Passo 3
Agora, vamos traduzir a condição do problema em termos matemáticos. A casa deve estar a uma distância da universidade que é igual à metade da distância até a margem do rio. Ou seja:
Passo 4
Vamos expressar essas distâncias usando coordenadas. Suponha que a casa esteja no ponto .
Distância até a Universidade (Q): Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Distância até a Margem do Rio (reta y = 0): A distância de um ponto a uma reta horizontal é simplesmente o valor absoluto da coordenada y:
Passo 5
De acordo com a condição do problema:
Vamos eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto para simplificar a equação.
Passo 6
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Agora, vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar a fração:
Passo 8
Vamos expandir o termo :
Passo 9
Agora, vamos levar todos os termos para um lado da equação para simplificar:
Passo 10
Para deixar a equação em uma forma mais reconhecível, vamos completar o quadrado para o termo que contém y:
Completemos o quadrado para :
Então, substituímos de volta na equação:
Passo 11
Isolando os termos:
Resposta
A equação da curva que representa os possíveis locais para a construção da casa é:
Isso significa que a localização ideal está ao longo de uma elipse definida por essa equação no sistema de coordenadas escolhido.