Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o sistema dado pela equação
e verificar se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e de sinais em processamento de sinais digitais. Vamos lá!
Passo 2
Estabilidade: Um sistema é estável se, para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. No nosso caso, se
é limitado, ou seja, não cresce para o infinito, multiplicar por 3 e somar 2 vai manter a saída limitada. Matemáticamente, se
, então
, que também é limitado. Então, o sistema é estável.
Passo 3
Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante
depende apenas dos valores atuais ou passados da entrada, não do futuro. Olhando para
, a saída depende apenas de
, que é o valor presente. Não tem nada do futuro envolvido. Portanto, o sistema é causal.
Passo 4
Linearidade: Para um sistema ser linear, ele precisa satisfazer os princípios de superposição e homogeneidade. Isso significa que
. Vamos testar:
Por outro lado,
Como
a menos que
e
sejam zero, o sistema não é linear.
Passo 5
Invariância no Tempo: Um sistema é invariante no tempo se uma mudança no tempo da entrada resulta na mesma mudança na saída. Vamos ver:
Se deslocarmos a entrada no tempo,
, então a saída será
.
Já se deslocarmos a saída original, temos
deslocado:
.
Aqui, notamos que o termo constante 2 não depende de
, então a saída deslocada não corresponde exatamente a deslocar a saída original. Portanto, o sistema não é invariante no tempo.
Passo 6
Sem Memória: Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante
depende apenas da entrada no mesmo instante
. No sistema
, a saída depende apenas de
, sem envolver outros valores passados ou futuros. Então, o sistema é sem memória.
Resposta
- Estável: Sim
- Causal: Sim
- Linear: Não
- Invariante no Tempo: Não
- Sem Memória: Sim