Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória:
T(x[n])=3 x[n]+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o sistema dado pela equação e verificar se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e de sinais em processamento de sinais digitais. Vamos lá!

Passo 2

Estabilidade: Um sistema é estável se, para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. No nosso caso, se é limitado, ou seja, não cresce para o infinito, multiplicar por 3 e somar 2 vai manter a saída limitada. Matemáticamente, se , então , que também é limitado. Então, o sistema é estável.

Passo 3

Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores atuais ou passados da entrada, não do futuro. Olhando para , a saída depende apenas de , que é o valor presente. Não tem nada do futuro envolvido. Portanto, o sistema é causal.

Passo 4

Linearidade: Para um sistema ser linear, ele precisa satisfazer os princípios de superposição e homogeneidade. Isso significa que . Vamos testar:
Por outro lado,
Como a menos que e sejam zero, o sistema não é linear.

Passo 5

Invariância no Tempo: Um sistema é invariante no tempo se uma mudança no tempo da entrada resulta na mesma mudança na saída. Vamos ver:
Se deslocarmos a entrada no tempo, , então a saída será .
Já se deslocarmos a saída original, temos deslocado: .
Aqui, notamos que o termo constante 2 não depende de , então a saída deslocada não corresponde exatamente a deslocar a saída original. Portanto, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 6

Sem Memória: Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante depende apenas da entrada no mesmo instante . No sistema , a saída depende apenas de , sem envolver outros valores passados ou futuros. Então, o sistema é sem memória.

Resposta

  • Estável: Sim
  • Causal: Sim
  • Linear: Não
  • Invariante no Tempo: Não
  • Sem Memória: Sim

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