Considere a equação de diferenças a seguir
y[n]-56 y[n-1]+16 y[n-2]=13 x[n-1]
Qual a resposta ao impulso para um sistema LIT causal que satisfaça essa equação de diferenças?

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos uma equação de diferenças que descreve o comportamento de um sistema Linear Invariante no Tempo (LIT) causal. Nosso objetivo é encontrar a resposta ao impulso desse sistema, ou seja, determinar como o sistema reage quando a entrada é um impulso unitário.

Passo 2

Entendendo a Equação de Diferenças: A equação dada é:
y[n] - 56 y[n-1] + 16 y[n-2] = 13 x[n-1]
Aqui, é a saída do sistema e é a entrada. Como queremos a resposta ao impulso, vamos considerar que é um impulso unitário, ou seja, , onde é igual a 1 quando e 0 caso contrário.

Passo 3

Substituindo a Entrada pela Impulso Unitário: Com y[n] - 56 y[n-1] + 16 y[n-2] = 13 de, substituímos na equação:
Nossa tarefa agora é encontrar , que será a resposta ao impulso .

Passo 4

Resolução Recursiva Inicial:
Como o sistema é causal, sabemos que h[0] - 56 h[-1] + 16 h[-2] = 13 de para h[0] = 0 .
Vamos resolver a equação para valores de começando de 0.
  • Para :
Sabendo que e :

Passo 5

  • Para h[1] - 56 h[0] + 16 h[-1] = 13 de:
h[1] = 13
Substituindo , e :

Passo 6

  • Para h[2] - 56 h[1] + 16 h[0] = 13 de:
h[2] = 56 h[1] = 56 times 13 = 518
Como :

Passo 7

  • Para h[3] - 56 h[2] + 16 h[1] = 13 de:
h[3] = 56 h[2] - 16 h[1] = 56 times 518 - 16 times 13 = 25108 - 118 = 19108
Como :

Resposta

A resposta ao impulso para o sistema LIT causal é dada por:
h[n] = 0, & n = 0 13, & n = 1 518, & n = 2 19108, & n = 3 vdots & vdots
Ou seja, a sequência continua seguindo a relação definida pela equação de diferenças, permitindo calcular para qualquer valor de conforme necessário.

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