Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória:
T(x[n])=sumk=0^n x[k], n>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o sistema dado por e determinar se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória. Para resolver isso, vamos precisar entender cada uma dessas propriedades dos sistemas de sinais e aplicar no sistema que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o sistema é linear. Um sistema é linear se ele respeita duas regras básicas: aditividade e homogeneidade.
  • Aditividade: Se aplicarmos duas entradas diferentes no sistema e somarmos as saídas, isso deve ser igual à soma das saídas individuais das entradas.
  • Homogeneidade: Se multiplicarmos a entrada por uma constante, a saída também deve ser multiplicada pela mesma constante.
Vamos testar isso no nosso sistema:
Seja T(a x1[n] + b x2[n]) = sumk=0^n (a x1[k] + b x2[k]) = a sumk=0^n x1[k] + b sumk=0^n x2[k] = a T(x1[n]) + b T(x2[n]) e duas entradas quaisquer, e e duas constantes. Aplicando no sistema:
Como a igualdade foi satisfeita, o sistema é linear.

Passo 3

Agora, vamos checar a causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante T(x[n]) = sumk=0^n x[k] depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, ou seja, não depende de futuros.
No nosso sistema:
A saída em depende de até , nenhum valor futuro como ou além. Então, o sistema é causal.

Passo 4

Vamos ver se o sistema é invariante no tempo. Isso significa que se a entrada for deslocada no tempo, a saída também será deslocada de forma correspondente, sem mudar a forma geral.
Vamos atrasar a entrada por T(x[n - n0]) = sumk=0^n x[k - n0] amostras: .
Aplicando no sistema:
Isso não é o mesmo que atrasar a saída original por , porque os limites da soma mudam. Portanto, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 5

Hora de verificar a estabilidade. Um sistema é estável no sentido BIBO (Bounded Input Bounded Output) se toda entrada limitada gera uma saída também limitada.
Considerando que |T(x[n])| = | sumk=0^n x[k] | <= sumk=0^n |x[k]| <= sumk=0^n M = M(n + 1) (entrada limitada), a saída será:
Aqui, cresce à medida que aumenta. Ou seja, se tende ao infinito, a saída também tende ao infinito. Assim, o sistema não é estável.

Passo 6

Por último, vamos ver se o sistema é sem memória. Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante depende apenas da entrada naquele mesmo instante.
No nosso sistema:
T(x[n]) = sumk=0^n x[k]
A saída em depende de até , ou seja, de valores passados. Portanto, o sistema possui memória.

Resposta

Resumindo as propriedades do sistema :
  • Linear: Sim
  • Causal: Sim
  • Invariante no tempo: Não
  • Estável: Não
  • Sem memória: Não

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