Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória:
Passo 1
Então, a gente tem um sistema definido por
. A questão pede pra gente descobrir se esse sistema é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória. Vamos precisar lembrar o que cada uma dessas propriedades significa pra verificar uma a uma.
Passo 2
Estabilidade:
Primeiro, vamos verificar a estabilidade. Um sistema é estável (no sentido de BIBO - Bounded Input, Bounded Output) se toda entrada limitada
resulta em uma saída também limitada.
Aqui,
.
Se
é limitado por
, então
vai ser limitado por
. Como
é finito, a saída também é limitada. Portanto, o sistema é estável.
Passo 3
Causalidade:
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante
depende apenas dos valores da entrada no presente ou no passado, ou seja,
depende somente de
para
.
No nosso caso,
depende apenas de
, que é o valor presente. Não depende de futuros valores de
. Portanto, o sistema é causal.
Passo 4
Linearidade:
Para verificar a linearidade, precisamos ver se o sistema obedece os princípios da superposição e da homogeneidade. Isso significa que para qualquer
e
, e constantes
e
:
Vamos testar:
Por outro lado:
Como
a menos que
ou
sejam zero, o sistema não satisfaz a propriedade da superposição. Portanto, o sistema não é linear.
Passo 5
Invariância no Tempo:
Um sistema é invariante no tempo se uma mudança de tempo na entrada resulta em uma mudança idêntica na saída. Formalmente, se
, então
.
Vamos verificar:
Como
, o sistema é invariante no tempo.
Passo 6
Sem Memória:
Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante
depende apenas da entrada nesse mesmo instante, e não de outros tempos.
No nosso caso,
depende apenas de
e não de outros valores de
. Portanto, o sistema é sem memória.
Resposta
O sistema
é estável, causal, invariante no tempo e sem memória, mas não é linear.