Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória:
T(x[n])=e^x[n]

Passo 1

Então, a gente tem um sistema definido por . A questão pede pra gente descobrir se esse sistema é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória. Vamos precisar lembrar o que cada uma dessas propriedades significa pra verificar uma a uma.

Passo 2

Estabilidade:
Primeiro, vamos verificar a estabilidade. Um sistema é estável (no sentido de BIBO - Bounded Input, Bounded Output) se toda entrada limitada resulta em uma saída também limitada.
Aqui, .
Se é limitado por , então vai ser limitado por . Como é finito, a saída também é limitada. Portanto, o sistema é estável.

Passo 3

Causalidade:
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores da entrada no presente ou no passado, ou seja, depende somente de para .
No nosso caso, depende apenas de , que é o valor presente. Não depende de futuros valores de . Portanto, o sistema é causal.

Passo 4

Linearidade:
Para verificar a linearidade, precisamos ver se o sistema obedece os princípios da superposição e da homogeneidade. Isso significa que para qualquer T(a x1[n] + b x2[n]) = a T(x1[n]) + b T(x2[n]) e T(a x1[n] + b x2[n]) = e^a x1[n] + b x2[n] , e constantes a T(x1[n]) + b T(x2[n]) = a e^x1[n] + b e^x2[n] e :
Vamos testar:
Por outro lado:
Como a menos que ou sejam zero, o sistema não satisfaz a propriedade da superposição. Portanto, o sistema não é linear.

Passo 5

Invariância no Tempo:
Um sistema é invariante no tempo se uma mudança de tempo na entrada resulta em uma mudança idêntica na saída. Formalmente, se T(x[n - n0]) = e^x[n - n0] , então y[n - n0] = e^x[n - n0] .
Vamos verificar:
Como , o sistema é invariante no tempo.

Passo 6

Sem Memória:
Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante depende apenas da entrada nesse mesmo instante, e não de outros tempos.
No nosso caso, depende apenas de e não de outros valores de . Portanto, o sistema é sem memória.

Resposta

O sistema é estável, causal, invariante no tempo e sem memória, mas não é linear.

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