Considere um sistema com a seguinte resposta impulsiva:
h[n]=(n+1)(u[n]-u[n-5])
Calcule a saída do sistema para as seguintes entradas:
x[n]=u[n]+u[n-2]-2 u[n-5]

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um sistema que responde a um impulso de entrada de uma maneira específica, dada por . Nosso objetivo aqui é descobrir como esse sistema responde a uma entrada diferente, que é . Para resolver isso, vamos usar o conceito de convolução, que é uma ferramenta fundamental em sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI).

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a saída de um sistema LTI para uma entrada qualquer é obtida pela convolução da entrada y[n] = x[n] * h[n] = sumk=-infty^infty x[k] cdot h[n - k] com a resposta ao impulso . Ou seja:
Isso basicamente significa que vamos “deslizar” uma função sobre a outra e somar os produtos onde elas se sobrepõem.

Passo 3

Vamos entender melhor as funções que temos:
  • Entrada:
    • é a função degrau unitário, que vale 1 para e 0 caso contrário.
  • Resposta ao impulso:
    • Isso significa que é uma sequência que começa em e termina em , já que corta a sequência após .

Passo 4

Vamos decompor a entrada x[n] = u[n] + u[n-2] - 2u[n-5] em partes mais simples para facilitar a convolução:
Isso significa que temos três partes a considerar:
  1. : degrau a partir de
  2. : degrau a partir de
  3. : degrau negativo a partir de
Cada uma dessas partes será convolucionada separadamente com e depois somadas.

Passo 5

Vamos começar a convoluir cada termo de y1[n] = u[n] * h[n] = sumk=-infty^infty u[k] cdot h[n - k] com y1[n] = sumk=0^n h[n - k] = summ=0^n h[m] :
  1. Convolução de y1[n] = summ=0^min(n,4) (m + 1) com y1[n] = (n + 1)(n + 2)2 & para 0 <= n < 5 5 cdot 62 = 15 & para n >= 5 :
y2[n] = u[n-2] * h[n] = sumk=2^n h[n - k]
Como y2[n] = summ=0^min(n-2,4) (m + 1) para y2[n] = 0 & para n < 2 (n - 2 + 1)(n - 2 + 2)2 = (n -1)(n)2 & para 2 <= n < 7 15 & para n >= 7 , a soma começa em y3[n] = -2u[n-5] * h[n] = -2 sumk=5^n h[n - k] :
y3[n] = -2 summ=0^min(n-5,4) (m + 1)
Como y3[n] = 0 & para n < 5 -2 cdot (n -5 +1)(n -5 +2)2 = -2 cdot (n -4)(n -3)2 = -(n -4)(n -3) & para 5 <= n < 9 -2 cdot 15 = -30 & para n >= 9 para , a soma efetivamente vai até :
Calculando essa soma:
  1. Convolução de com :
Seguindo um raciocínio similar:
Isso é equivalente a:
Calculando essa soma:
  1. Convolução de com :
Aqui, multiplicamos a convolução de com por -2:
Isso equivale a:
Calculando essa soma:

Passo 6

Agora, juntando todas as partes:
y[n] = y1[n] + y2[n] + y3[n]
Vamos analisar por intervalos de :
  1. Para :
    • Total:
  2. Para :
    • Total:
  3. Para :
    • Total:
  4. Para :
    • Total:
  5. Para :
    • Total:

Resposta

A saída do sistema para a entrada dada é:
y[n] = (n + 1)(n + 2)2 & para 0 <= n < 2 (n + 1)(n + 2) + (n -1)(n)2 & para 2 <= n < 5 15 + (n -1)(n)2 - (n -4)(n -3) & para 5 <= n < 7 30 - (n -4)(n -3) & para 7 <= n < 9 0 & para n >= 9

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