Considere um sistema com a seguinte resposta impulsiva:
Calcule a saída do sistema para as seguintes entradas:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um sistema que responde a um impulso de entrada de uma maneira específica, dada por . Nosso objetivo aqui é descobrir como esse sistema responde a uma entrada diferente, que é . Para resolver isso, vamos usar o conceito de convolução, que é uma ferramenta fundamental em sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI).
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a saída de um sistema LTI para uma entrada qualquer é obtida pela convolução da entrada com a resposta ao impulso . Ou seja:
Isso basicamente significa que vamos “deslizar” uma função sobre a outra e somar os produtos onde elas se sobrepõem.
Passo 3
Vamos entender melhor as funções que temos:
Entrada:
é a função degrau unitário, que vale 1 para e 0 caso contrário.
Resposta ao impulso:
Isso significa que é uma sequência que começa em e termina em , já que corta a sequência após .
Passo 4
Vamos decompor a entrada em partes mais simples para facilitar a convolução:
Isso significa que temos três partes a considerar:
: degrau a partir de
: degrau a partir de
: degrau negativo a partir de
Cada uma dessas partes será convolucionada separadamente com e depois somadas.
Passo 5
Vamos começar a convoluir cada termo de com :
Convolução de com :
Como para , a soma começa em :
Como para , a soma efetivamente vai até :
Calculando essa soma:
Convolução de com :
Seguindo um raciocínio similar:
Isso é equivalente a:
Calculando essa soma:
Convolução de com :
Aqui, multiplicamos a convolução de com por -2:
Isso equivale a:
Calculando essa soma:
Passo 6
Agora, juntando todas as partes:
y[n] = y1[n] + y2[n] + y3[n]
Vamos analisar por intervalos de :
Para :
Total:
Para :
Total:
Para :
Total:
Para :
Total:
Para :
Total:
Resposta
A saída do sistema para a entrada dada é:
y[n] = (n + 1)(n + 2)2 & para 0 <= n < 2 (n + 1)(n + 2) + (n -1)(n)2 & para 2 <= n < 5 15 + (n -1)(n)2 - (n -4)(n -3) & para 5 <= n < 7 30 - (n -4)(n -3) & para 7 <= n < 9 0 & para n >= 9