Para cada uma das funções de transferência mostradas abaixo, determine a localização dos pólos e dos zeros no plano S e em seguida escreva uma expressão para a forma geral da resposta ao degrau unitário sem resolver utilizando a Transformada de Laplace inversa. Enuncie a natureza de cada uma das respostas (superamortecida, subamortecida, etc.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para analisar uma função de transferência
. O que precisamos fazer é encontrar onde ficam os pólos e os zeros dessa função no plano S, montar uma expressão geral para a resposta a um degrau unitário usando a Transformada de Laplace inversa e, por fim, dizer que tipo de resposta obtemos (como se ela é superamortecida, subamortecida, etc.). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre função de transferência, pólos, zeros e como a Transformada de Laplace funciona na resposta a um degrau.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os zeros da função de transferência. Os zeros são os valores de
que fazem o numerador da função igual a zero. Olhando para o numerador
, basta resolver
. Assim:
Então, temos um zero em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pólos da função de transferência. Os pólos são os valores de
que fazem o denominador igual a zero. Nosso denominador é
. Vamos resolver cada fator:
Portanto, temos dois pólos: um em
e outro em
.
Passo 4
Vamos posicionar esses pólos e zeros no plano S. No eixo horizontal (real) e vertical (imaginário):
- Zero em
fica no ponto (-7, 0). - Pólo em
fica no ponto (-10, 0). - Pólo em
fica no ponto (-20, 0).
Todos estão sobre o eixo real e à esquerda da origem, indicando que o sistema é estável.
Passo 5
Para encontrar a resposta ao degrau unitário, usamos a Transformada de Laplace. A entrada é um degrau unitário, cuja Transformada de Laplace é
. A saída no domínio de Laplace é:
Agora, para obter a resposta no tempo, aplicaríamos a Transformada de Laplace inversa a essa expressão. Sem resolver completamente, sabemos que a forma geral envolverá uma combinação de termos exponenciais relacionados aos pólos.
Passo 6
Por último, vamos analisar a natureza da resposta. Observamos que temos dois pólos reais e distintos em
e
. Quando isso acontece, o sistema é superamortecido. Isso significa que a resposta ao degrau vai voltar ao equilíbrio sem oscilar, de forma suave e sem ultrapassar o valor final.
Resposta
A resposta ao degrau unitário é superamortecida, caracterizada por uma combinação de termos exponenciais decrescentes sem oscilações, retornando suavemente ao estado de equilíbrio.