Uma cadeia de lanchonetes instalará um novo estabelecimento em um local proposto se passarem, pelo local, no mínimo 200 carros por hora durante certos períodos do dia. Para 20 horas aleatoriamente selecionadas durante tais períodos, o número médio de carros que passaram pelo local foi de 208,5 , com desvio padrão 30,0 . Supõe-se que a população estatística seja aproximadamente normal. O gerente da cadeia de lanchonetes adota, conservadoramente, a hipótese nula de que o volume de tráfego não satisfaz a exigência, ou seja,
. Pode esta hipótese ser rejeitada a um nível de significância de
?
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lanchonete que quer abrir um novo ponto, mas para isso precisa que passem pelo menos 200 carros por hora no local. Eles coletaram dados de 20 horas diferentes e descobriram que, em média, passaram 208,5 carros por hora, com um desvio padrão de 30,0 carros. A pergunta é: com base nisso, conseguimos dizer se a média real de carros que passam é maior que 200, usando um nível de significância de 5%?
Para resolver isso, vamos usar Teste de Hipótese na Estatística, mais especificamente o Teste t de Student, já que estamos trabalhando com uma amostra pequena (n < 30) e não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer nossas hipóteses:
-
Hipótese Nula (H₀): A média de carros que passam por hora é menor ou igual a 200.
-
Hipótese Alternativa (H₁): A média de carros que passam por hora é maior que 200.
Estamos testando se a média real é maior que 200, então esse é um teste unilateral.
Passo 3
Vamos calcular o estatístico t usando a fórmula:
Onde:
-
é a média da amostra (208,5) -
é a média hipotética (200) -
é o desvio padrão da amostra (30) -
é o tamanho da amostra (20)
Vamos substituir os valores:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para o nosso teste. Como estamos usando um nível de significância de 5% (0,05) e é um teste unilateral, procuramos o valor de t que deixa 5% na cauda direita da distribuição t com
graus de liberdade.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico
é aproximadamente 1,729.
Passo 5
Agora comparamos o estatístico t calculado (1,267) com o valor crítico t (1,729):
- Se
, rejeitamos a hipótese nula . - Se
, não rejeitamos .
No nosso caso:
Resposta
Como o estatístico t calculado (1,267) é menor que o valor crítico (1,729), não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, com um nível de significância de 5%, não há evidências suficientes para afirmar que a média de carros que passam pelo local satisfaz a exigência de pelo menos 200 carros por hora.