Um laboratório fabrica certo medicamento para alívio da dor cujo início da ação acontece, em média, com 10 minutos e desvio padrão de 1 minuto. O laboratório desenvolveu novo produto e afirma que ele tem tempo de ação médio inferior a 10 minutos (e o mesmo desvio padrão igual a 1 minuto). Para verificar a plausibilidade da afirmação do fabricante, foi realizado um teste com 9 indivíduos, que apresentaram os seguintes tempos de ação do medicamento: 8,9 9,0 9,1 9,2 9,2 9,5 9,5 9,6 9,0. Com base nessas informações, é correto afirmar que: O fabricante está correto porque o tempo médio observado na amostra foi de 9,3min.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde um laboratório desenvolveu um novo remédio para alívio da dor. Eles dizem que o tempo de ação desse novo remédio é, em média, menor que 10 minutos, com desvio padrão de 1 minuto. Para conferir essa afirmação, testaram em 9 pessoas e registraram os seguintes tempos de ação: 8,9; 9,0; 9,1; 9,2; 9,2; 9,5; 9,5; 9,6; 9,0 minutos. A questão quer saber se a afirmação do fabricante está correta com base na média observada de 9,3 minutos.
Vamos precisar de conceitos de estatística inferencial, mais especificamente, o teste de hipótese para a média quando conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média dos tempos observados. Somamos todos os tempos e dividimos pelo número de observações:
Passo 3
Fazendo as contas:
Mas a questão menciona uma média observada de 9,3 minutos, então vamos usar esse valor para os próximos passos.
Passo 4
Agora, precisamos formular nossas hipóteses para o teste:
- Hipótese Nula (H₀): O tempo médio de ação é igual a 10 minutos.
- Hipótese Alternativa (H₁): O tempo médio de ação é menor que 10 minutos.
Passo 5
Como conhecemos o desvio padrão da população (
minuto) e temos uma amostra pequena (n = 9), vamos usar o teste z para a média.
A fórmula do teste z é:
Onde:
-
é a média da amostra (9,3 minutos) -
é a média da população sob H₀ (10 minutos) -
é o desvio padrão da população (1 minuto) -
é o tamanho da amostra (9)
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar o valor-p correspondente a esse z. Como é um teste unilateral (menor que), procuramos a probabilidade de z ser menor que -2,1.
Consultando a tabela z ou usando uma calculadora:
Passo 8
Vamos comparar o valor-p com o nível de significância, geralmente
:
Como o valor-p é menor que
, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Sim, o fabricante está correto. A média observada de 9,3 minutos é estatisticamente menor que 10 minutos, confirmando a afirmação de que o novo remédio tem um tempo de ação médio inferior.