uma cadeira de 41,5 kg é presa a uma mola e deixada para oscilar livremente. Quando vazia, a cadeira leva 1,67 s para completar um ciclo. Mas com uma astronauta sentada nela, sem apoiar os pés no chão, a cadeira leva 2,61 s para completar um ciclo. Qual é a massa (em kg) da astronauta?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma cadeira que pesa 41,5 kg presa a uma mola e que oscila por conta própria. Quando está vazia, ela completa um ciclo em 1,67 segundos. Mas quando uma astronauta se senta nela, sem apoiar os pés no chão, o ciclo leva 2,61 segundos. A gente quer descobrir qual é a massa dessa astronauta.
Matéria envolvida: Movimento Harmônico Simples (MHS) e as fórmulas de período de oscilação.
O que vamos precisar:
- Fórmula do período de um sistema massa-mola.
- Entender como a massa adicionada afeta o período de oscilação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona o período de oscilação
com a massa
e a constante da mola
:
Aqui,
é o tempo que leva para completar um ciclo,
é a massa presa à mola, e
é a constante que mede a rigidez da mola.
Passo 3
Quando a cadeira está vazia, apenas a massa da cadeira está atuando na mola. Vamos chamar o período nesse caso de
e a massa da cadeira de
. Então, temos:
Passo 4
Agora, quando a astronauta se senta na cadeira, a massa total que atua na mola passa a ser
, onde
é a massa da astronauta. O período agora é
:
Passo 5
Queremos encontrar
, a massa da astronauta. Para eliminar a constante
, podemos dividir as duas equações:
Passo 6
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Isolando
:
Passo 9
Agora vamos substituir os valores que temos. Sabemos que:
Calculando a razão
:
Passo 10
Elevando ao quadrado:
Passo 11
Substituindo na equação de
:
Resposta
A massa da astronauta é aproximadamente 59,35 kg.