uma cadeira de 41,5 kg é presa a uma mola e deixada para oscilar livremente. Quando vazia, a cadeira leva 1,67 s para completar um ciclo. Mas com uma astronauta sentada nela, sem apoiar os pés no chão, a cadeira leva 2,61 s para completar um ciclo. Qual é a massa (em kg) da astronauta?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma cadeira que pesa 41,5 kg presa a uma mola e que oscila por conta própria. Quando está vazia, ela completa um ciclo em 1,67 segundos. Mas quando uma astronauta se senta nela, sem apoiar os pés no chão, o ciclo leva 2,61 segundos. A gente quer descobrir qual é a massa dessa astronauta.
Matéria envolvida: Movimento Harmônico Simples (MHS) e as fórmulas de período de oscilação.
O que vamos precisar:
  • Fórmula do período de um sistema massa-mola.
  • Entender como a massa adicionada afeta o período de oscilação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona o período de oscilação T = 2pi raizmk com a massa e a constante da mola :
Aqui, é o tempo que leva para completar um ciclo, é a massa presa à mola, e é a constante que mede a rigidez da mola.

Passo 3

Quando a cadeira está vazia, apenas a massa da cadeira está atuando na mola. Vamos chamar o período nesse caso de T1 = 2pi raizm1k e a massa da cadeira de . Então, temos:

Passo 4

Agora, quando a astronauta se senta na cadeira, a massa total que atua na mola passa a ser T2 = 2pi raizm1 + mak , onde é a massa da astronauta. O período agora é :

Passo 5

Queremos encontrar T2T1 = 2pi raizm1 + mak2pi raizm1k = raizm1 + mam1 , a massa da astronauta. Para eliminar a constante , podemos dividir as duas equações:

Passo 6

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
(T2T1)^2 = m1 + mam1

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por m1 (T2T1)^2 = m1 + ma :

Passo 8

Isolando ma = m1 (T2T1)^2 - m1 = m1 ((T2T1)^2 - 1) :

Passo 9

Agora vamos substituir os valores que temos. Sabemos que:
  • T2T1 = 2,611,67 approx 1,56
Calculando a razão :

Passo 10

Elevando ao quadrado:
(T2T1)^2 approx (1,56)^2 approx 2,43

Passo 11

Substituindo na equação de ma = 41,5 (2,43 - 1) = 41,5 times 1,43 approx 59,345 , kg :

Resposta

A massa da astronauta é aproximadamente 59,35 kg.

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