Duas crianças estão disputando um jogo no qual tentam acertar uma pequena caixa no chão com uma bola de gude lançada por um canhão de mola montado em uma mesa. Considere que não há atrito entre a mesa e a bola de gude e que as dimensões da bolinha de gude são muito pequenas comparadas às demais distâncias, de maneira que podemos tratar a bola de gude como uma partícula. A caixa está a uma distância horizontal
da borda da mesa, conforme a figura abaixo. Na primeira tentativa, uma das crianças comprime a mola de 1 cm e a bola de gude cai no chão a uma distância de 20 cm antes da caixa. De que distância deve ser comprimida a mola para que a bola de gude acerte a caixa?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Duas crianças estão jogando um jogo onde lançam uma bola de gude usando um canhão de mola. A bola é lançada horizontalmente de uma mesa e deve acertar uma caixa que está a uma distância horizontal de
. Na primeira tentativa, a mola foi comprimida em 1 cm e a bola caiu 20 cm antes da caixa. Nosso objetivo é descobrir de quanto a mola precisa ser comprimida para que a bola acerte exatamente a caixa.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cinemática, mais especificamente sobre movimento de projéteis e a relação entre a compressão da mola e a velocidade inicial da bola.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o movimento da bola de gude. Como a bola é lançada horizontalmente, sua velocidade inicial é apenas na direção horizontal. A altura da mesa determina o tempo que a bola leva para cair até o chão devido à gravidade.
A altura da mesa não foi dada diretamente, mas podemos descobrir observando a primeira tentativa.
Passo 3
Na primeira tentativa, a mola foi comprimida em
, e a bola caiu 20 cm antes da caixa. Isso significa que a distância percorrida pela bola foi:
Passo 4
Vamos relacionar a compressão da mola com a velocidade inicial da bola. A energia potencial armazenada na mola comprimida é convertida em energia cinética da bola:
Simplificando, temos:
Aqui,
é a velocidade inicial,
é a constante da mola,
é a massa da bola, e
é a compressão da mola.
Passo 5
Como a massa da bola e a constante da mola são constantes, podemos ver que a velocidade inicial
é proporcional à compressão
:
O tempo de queda
da bola depende apenas da altura da mesa e da aceleração da gravidade:
Como a altura
e
são constantes, o tempo
também é constante para ambas as tentativas.
Passo 6
A distância horizontal percorrida pela bola é dada por:
Como
é constante, a distância
é proporcional à velocidade inicial
, que, por sua vez, é proporcional à compressão
:
Portanto, podemos escrever:
Onde:
-
-
-
-
é o que queremos encontrar.
Passo 7
Isolando
na equação acima:
Substituindo os valores:
Convertendo para centímetros:
Resposta
A mola deve ser comprimida 1,1 cm para que a bola de gude acerte a caixa.
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(a) Qual é a posição da partícula no instante ?
(b) Qual é a posição da partícula no instante ?
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?
(d) Qual é a velocidade média da partícula entre e
?
(e) Qual é a velocidade instantânea da partícula em ?
(f) Qual é a aceleração instantânea da partícula em t=4s?
(a) Qual é a posição da partícula no instante
(b) Qual é a posição da partícula no instante
© Qual é a distância total percorrida entre
(d) Qual é a velocidade média da partícula entre
(e) Qual é a velocidade instantânea da partícula em
(f) Qual é a aceleração instantânea da partícula em t=4s?