Uma caixa contém 10 bolas, numeradas de 1 a 10 . Duas bolas são retiradas aleatoriamente, sem reposição. Qual é a probabilidade de que a soma dos números das bolas retiradas seja um número primo, sabendo que a primeira bola retirada tem um número par?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma caixa com 10 bolas numeradas de 1 a 10. A gente vai tirar duas bolas sem devolver nenhuma. A pergunta é: qual a probabilidade de a soma dos números das bolas tirar ser um número primo, sabendo que a primeira bola tirada tem um número par? Vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicionada e saber identificar números primos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os números pares disponíveis na caixa. Como as bolas são numeradas de 1 a 10, os números pares são: 2, 4, 6, 8 e 10. Então, temos 5 opções para a primeira bola.

Passo 3

Agora, para cada número par que pode ser retirado primeiro, vamos ver quais são os números que, quando somados a ele, resultam em um número primo. Lembrando que números primos são aqueles maiores que 1 que só são divisíveis por 1 e por eles mesmos.

Passo 4

Vamos fazer isso para cada número par:
  • Primeira bola = 2
    Possíveis segundas bolas: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
    Somas: 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
    Números primos na soma: 3, 5, 7, 11
    Total de casos favoráveis: 4
  • Primeira bola = 4
    Possíveis segundas bolas: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10
    Somas: 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14
    Números primos na soma: 5, 7, 11, 13
    Total de casos favoráveis: 4
  • Primeira bola = 6
    Possíveis segundas bolas: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10
    Somas: 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16
    Números primos na soma: 7, 11, 13
    Total de casos favoráveis: 3
  • Primeira bola = 8
    Possíveis segundas bolas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10
    Somas: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18
    Números primos na soma: 11, 13, 17
    Total de casos favoráveis: 3
  • Primeira bola = 10
    Possíveis segundas bolas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
    Somas: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
    Números primos na soma: 11, 13, 17, 19
    Total de casos favoráveis: 4

Passo 5

Agora, vamos somar todos os casos favoráveis:
4 (para 2) + 4 (para 4) + 3 (para 6) + 3 (para 8) + 4 (para 10) = 18 casos favoráveis.

Passo 6

O total de casos possíveis, dado que a primeira bola é par, são 5 opções para a primeira bola e, para cada uma delas, 9 opções para a segunda (já que não repõe). Então, temos:
5 × 9 = 45 casos possíveis.

Resposta

A probabilidade de que a soma dos números das bolas retiradas seja um número primo, sabendo que a primeira bola tem um número par, é de 1845, que simplificando dá 25 ou 0,4.

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