Uma caixa d’água de 1.000 litros está completamente cheia e vaza 7 litros por hora.
a) Complete alguns termos da progressão sugerida abaixo: caixa cheia _
a1 = 1.000 litros 1 hora depois _
a2 = 993 litros 2 horas depois _
a3 = … 3 horas depois _
a4 = … 4 horas depois _
a5 = …
b) Quantos litros terá a caixa 24 horas depois do instante em que estava cheia? 839 litros

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa d’água de 1.000 litros que está totalmente cheia, mas está vazando 7 litros por hora. Isso envolve conceitos de progressão aritmética, onde a gente vai ver como a quantidade de água na caixa diminui a cada hora. Vamos usar uma progressão para mostrar isso e também calcular quanto vai sobrar depois de 24 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a progressão aritmética. Nessa progressão, cada termo é obtido subtraindo uma quantidade fixa do termo anterior. No nosso caso, a caixa está perdendo 7 litros a cada hora. Então, a diferença comum (d) é -7 litros por hora.
A fórmula para o n-ésimo termo de uma progressão aritmética é:
an = a1 + (n - 1) times d
Onde:
  • $ a_n $ é o n-ésimo termo,
  • $ a_1 $ é o primeiro termo,
  • $ d $ é a diferença comum,
  • $ n $ é o número do termo.

Passo 3

Vamos preencher os termos da progressão sugerida:
  • Quando a caixa está cheia, no tempo inicial (0 horas), temos $ a_0 = 1.000 $ litros.
  • Depois de 1 hora:
    a0 = 1.000
  • Depois de 2 horas:
    a1 = a0 - 7 = 1.000 - 7 = 993 litros
  • Depois de 3 horas:
    a2 = a1 - 7 = 993 - 7 = 986 litros
  • Depois de 4 horas:
    a3 = a2 - 7 = 986 - 7 = 979 litros
  • Depois de 5 horas:
    a4 = a3 - 7 = 979 - 7 = 972 litros

Passo 4

Agora, vamos calcular quantos litros terá a caixa depois de 24 horas. Usando a fórmula da progressão aritmética:
a24 = a1 + (24 - 1) times d
Sabemos que:
  • $ a_1 = 993 $ litros,
  • $ d = -7 $ litros por hora.
Substituindo:
a1 = 993
d = -7
a24 = 993 + 23 times (-7)

Resposta

Depois de 24 horas, a caixa d’água terá 832 litros.

Exercícios relacionados