A caixa, com massa de 25 kg , é erguida pelo sistema de polia e motor M. Se a caixa parte do repouso e, por aceleração constante, atinge velocidade de 6 m / s depois de subir por 3 m , determine a potência que precisa ser fornecida ao motor no instante s=3 m. O motor tem eficiência varepsilon=0,74.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma caixa com massa de 25 kg sendo erguida por um sistema de polia e um motor M. A caixa parte do repouso e, com aceleração constante, atinge uma velocidade de 6 , m/s após subir 3 metros. Precisamos descobrir qual é a potência que o motor precisa fornecer exatamente quando a caixa está a 3 metros de altura. Além disso, sabemos que o motor tem uma eficiência de varepsilon = 0,74.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática (para encontrar a aceleração), dinâmica (para calcular a força), e potência, considerando também a eficiência do motor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a aceleração da caixa. Sabemos que a caixa parte do repouso ( v0 = 0) e atinge uma velocidade final de v = 6 , m/s após percorrer uma distância de s = 3 , m. Usamos a equação da cinemática:
v^2 = v0^2 + 2 a s
Substituindo os valores:
6^2 = 0 + 2 cdot a cdot 3 36 = 6a a = 6 , m/s^2
Então, a aceleração da caixa é de 6 , m/s^2.

Passo 3

Agora, vamos calcular a força total necessária para levantar a caixa. Usamos a segunda lei de Newton, que diz que a força F é igual à massa m multiplicada pela aceleração total. A aceleração total aqui é a soma da aceleração da gravidade ( g = 9,8 , m/s^2) e a aceleração adicional que a caixa está ganhando ( a = 6 , m/s^2):
F = m (g + a)
Substituindo os valores:
F = 25 cdot (9,8 + 6) F = 25 cdot 15,8 F = 395 , N
Portanto, a força necessária é de 395 , N.

Passo 4

Com a força calculada, podemos agora determinar a potência necessária para mover a caixa a essa velocidade. A potência P é dada pelo produto da força F e da velocidade v:
P = F cdot v
Substituindo os valores:
P = 395 cdot 6 P = 2370 , W
Então, a potência necessária sem considerar a eficiência do motor é de 2370 , W.

Passo 5

Finalmente, como o motor não é 100% eficiente, precisamos ajustar a potência para levar isso em conta. A eficiência varepsilon relaciona a potência útil ( P) com a potência fornecida pelo motor ( Pfornecida):
P = varepsilon cdot Pfornecida
Rearranjando para encontrar Pfornecida:
Pfornecida = Pvarepsilon Pfornecida = 23700,74 Pfornecida approx 3202,7 , W

Resposta

A potência que precisa ser fornecida ao motor no instante s = 3 , m é de aproximadamente 3203 , W.

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