Cakule partial fpartial u(x0, y0), sendo dados:
f(x, y)=arctg xy,(x0, y0)=(3,3) e u=(1raiz2, 1raiz2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e de vetores unitários.

Passo 2

A derivada direcional de uma função em uma direção específica é calculada usando o gradiente da função e o vetor de direção. A fórmula para a derivada direcional Du f(x0, y0) = nabla f(x0, y0) cdot u é:
Onde é o gradiente de no ponto e representa o produto escalar entre vetores.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o gradiente f(x, y) = arctan(xy) , que é composto pelas derivadas parciais de partial fpartial x = 11 + (xy)^2 cdot 1y = yy^2 + x^2 em relação a partial fpartial y = 11 + (xy)^2 cdot (-xy^2) = -xy^2 + x^2 e .
A função dada é:
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto partial fpartial xg|(3,3) = 33^2 + 3^2 = 318 = 16 :
partial fpartial yg|(3,3) = -33^2 + 3^2 = -318 = -16
nabla f(3, 3) = ( 16, -16 )
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção Du f(3, 3) = ( 16, -16 ) cdot ( 1raiz2, 1raiz2 ) = 16 cdot 1raiz2 + (-16) cdot 1raiz2 = 0 :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é igual a 0.

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