Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e de vetores unitários.
Passo 2
A derivada direcional de uma função em uma direção específica é calculada usando o gradiente da função e o vetor de direção. A fórmula para a derivada direcional é:
Onde é o gradiente de no ponto e representa o produto escalar entre vetores.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o gradiente , que é composto pelas derivadas parciais de em relação a e .
A função dada é:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
nabla f(3, 3) = ( 16, -16 )
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção Du f(3, 3) = ( 16, -16 ) cdot ( 1raiz2, 1raiz2 ) = 16 cdot 1raiz2 + (-16) cdot 1raiz2 = 0 :
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção de é igual a 0.