Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
. Em seguida, determine o vetor normal ao gráfico de
no ponto
. Desenhe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Além disso, vamos determinar o vetor normal a esse gráfico no mesmo ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão a inclinação da função nas direções de cada variável.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
. Substituindo
e
:
Passo 4
O próximo passo é escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente a uma função
no ponto
é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para deixar ela mais bonita:
Passo 6
Agora, vamos determinar o vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais e pode ser representado como:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é:
O vetor normal ao gráfico no ponto
é: