Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) = x^2 + y^2 no ponto P(1,1,2). Em seguida, determine o vetor normal ao gráfico de f no ponto P(1,1,2). Desenhe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Além disso, vamos determinar o vetor normal a esse gráfico no mesmo ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da função nas direções de cada variável.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto . Substituindo e :

Passo 4

O próximo passo é escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente a uma função no ponto é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para deixar ela mais bonita:

Passo 6

Agora, vamos determinar o vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais e pode ser representado como:

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é:
O vetor normal ao gráfico no ponto é:

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