SEM CALCULADORA: Uma motociclista pretende saltar sobre um rio que está 100m abaixo da rampa de decolagem, a qual tem inclinação theta=60^circ, como ilustra a figura ao lado. A largura do rio é de 40 m e a outra margem está a h=12,0 m abaixo do topo da rampa. Qual deve ser a velocidade da motociclista ao saltar da rampa para que alcance a outra margem sem cair no rio? Calcule em m / s e depois converta para km / h.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma motociclista que vai saltar de uma rampa inclinada com um ângulo de 60°. A rampa está 100 metros acima de um rio, e ela precisa atravessar o rio que tem 40 metros de largura. A outra margem do rio está 12 metros abaixo do topo da rampa. Nosso objetivo é descobrir com que velocidade ela precisa sair da rampa para chegar na outra margem sem cair na água. Vamos usar conceitos de movimento de projéteis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas componentes da velocidade inicial da motociclista. Como a rampa está inclinada em 60°, a velocidade inicial tem duas partes:
  • Horizontal:
  • Vertical:
    Aqui, .

Passo 3

Agora, vamos considerar o movimento horizontal. A largura do rio é de 40 metros, então a motociclista precisa percorrer essa distância. A fórmula para deslocamento horizontal é:
De
Onde 40 = v0 cdot cos(60^circ) cdot t é o tempo de voo. Como queremos que t = 40v0 cdot cos(60^circ) , podemos reescrever:

Passo 4

Agora, vamos olhar para o movimento vertical. A motociclista desconta de uma altura maior e precisa chegar 12 metros abaixo do topo da rampa. A variação vertical é:
De
A equação do movimento vertical é:
De
Substituindo -12 = v0 cdot sin(60^circ) cdot (40v0 cdot cos(60^circ)) - 12 cdot 9,8 cdot (40v0 cdot cos(60^circ))^2 e de antes:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
-12 = 40 cdot tan(60^circ) - 12 cdot 9,8 cdot 1600v0^2 cdot cos^2(60^circ)
Resolvendo para v0^2 = 12 cdot 9,8 cdot 1600cos^2(60^circ) cdot (40 cdot tan(60^circ) + 12) :

Passo 6

Agora, vamos calcular:
Primeiro, calculemos os valores trigonométricos:
cos(60^circ) = 0,5
tan(60^circ) approx 1,732
Substituindo:
v0^2 = 12 cdot 9,8 cdot 1600(0,5)^2 cdot (40 cdot 1,732 + 12)
v0^2 = 4,9 cdot 16000,25 cdot (69,28 + 12)
v0^2 = 4,9 cdot 16000,25 cdot 81,28
v0^2 = 4,9 cdot 160020,32
v0^2 = 4,9 cdot 78,7
v0^2 approx 385
v0 approx raiz385
v0 approx 19,6 , m/s
Agora, convertendo para km/h:
19,6 , m/s times 3,6 = 70,56 , km/h

Resposta

A velocidade que a motociclista deve ter ao sair da rampa é de aproximadamente 19,6 m/s ou 70,6 km/h.

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