Calcular a concentração de todas as espécies em equilíbrio nas soluções a seguir. Utilizar o método sistemático para o tratamento dos equilíbrios químicos. Realizar as aproximações que julgar conveniente, dentro de um erro relativo de 10%. Desprezar o efeito eletrolítico das soluções (Teoria moderna da dissociação eletrolítica - último tópico da PROVA 1).
(d) CH3 NH2 0,001 mol L^-1 ;(pKa CH3 NH3 ^+=10,64 ; pKw=14)
R: [HO^-]=[CH3 NH3^+]=4,78 times 10^-4 mol L^-1 ;[H3 O^+]=2,09 times 10^-11 mol L^-1 ;[CH3 NH2]=5,23 times 10^-4 mol L^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as concentrações de todas as espécies em equilíbrio para uma solução de metilamina ( CH3NH2) com concentração inicial de 0,001 , mol , L^-1. Vamos usar o método sistemático para tratar os equilíbrios químicos, fazendo aproximações que mantenham o erro relativo dentro de 10%. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equilíbrio ácido-base e como as constantes de dissociação ( pKa e pKw) se relacionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as espécies presentes na solução. A metilamina ( CH3NH2) é uma base fraca que pode aceitar um próton ( H^+) para formar seu íon conjugado, o metilamonio ( CH3NH3^+). Além disso, como estamos lidando com soluções aquosas, temos a autoionização da água, formando íons hidroxila ( OH^-) e íons hidronio ( H3O^+).

Passo 3

Vamos estabelecer as reações de equilíbrio envolvidas:
  1. Dissociação da água:
    H2O rightarrow H^+ + OH^-
    A constante de equilíbrio para essa reação é Kw, onde pKw = 14, então Kw = 10^-14.
  2. Reação da metilamina com a água:
    CH3NH2 + H2O rightarrow CH3NH3^+ + OH^-
    A constante de equilíbrio para essa base é Kb, que está relacionada ao pKa do íon conjugado ( CH3NH3^+) pela relação:
    Ka times Kb = Kw
    Com pKa = 10,64, temos Ka = 10^-10,64 e, consequentemente, Kb = KwKa.

Passo 4

Vamos calcular Kb:
Ka = 10^-10,64 approx 2,29 times 10^-11
Kb = 10^-142,29 times 10^-11 approx 4,37 times 10^-4

Passo 5

Agora, estabelecemos as concentrações iniciais e as variações durante o equilíbrio. Considerando que a concentração inicial de CH3NH2 é 0,001 , mol , L^-1, e inicialmente não há CH3NH3^+ nem OH^-, podemos montar uma tabela de concentração:
ccc & CH3NH2 & rightarrow & CH3NH3^+ & + & OH^- Inicial (mol/L) & 0,001 & & 0 & & 0 Variação (mol/L) & -x & & +x & & +x Equilíbrio (mol/L) & 0,001 - x & & x & & x çãí

Passo 6

A expressão da constante de equilíbrio Kb é:
Kb = [CH3NH3^+][OH^-][CH3NH2]
Substituindo as concentrações do equilíbrio:
4,37 times 10^-4 = x times x0,001 - x = x^20,001 - x

Passo 7

Assumindo que x é muito menor que 0,001, podemos simplificar 0,001 - x approx 0,001. Assim:
4,37 times 10^-4 = x^20,001
x^2 = 4,37 times 10^-4 times 0,001 = 4,37 times 10^-7
x = raiz4,37 times 10^-7 approx 6,61 times 10^-4 , mol , L^-1
Verificamos a aproximação: x = 6,61 times 10^-4 é cerca de 66% de 0,001, o que significa que a aproximação 0,001 - x approx 0,001 não é válida, pois o erro relativo é maior que 10%. Portanto, precisamos resolver a equação quadrática sem aproximações.

Passo 8

Voltando à equação:
4,37 times 10^-4 = x^20,001 - x
Multiplicando ambos os lados por (0,001 - x):
4,37 times 10^-4 (0,001 - x) = x^2
4,37 times 10^-7 - 4,37 times 10^-4 x = x^2
Rearrumando:
x^2 + 4,37 times 10^-4 x - 4,37 times 10^-7 = 0

Passo 9

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
a = 1
b = 4,37 times 10^-4
c = -4,37 times 10^-7
Calculando o discriminante:
De
Então:
x = -4,37 times 10^-4 pm raiz1,9386 times 10^-62 = -4,37 times 10^-4 pm 1,392 times 10^-32
Desconsiderando a solução negativa:
x = -4,37 times 10^-4 + 1,392 times 10^-32 = 9,55 times 10^-42 = 4,78 times 10^-4 , mol , L^-1

Passo 10

Com x = 4,78 times 10^-4 , mol , L^-1, podemos calcular as concentrações no equilíbrio:
[CH3NH3^+] = x = 4,78 times 10^-4 , mol , L^-1
[OH^-] = x = 4,78 times 10^-4 , mol , L^-1
[CH3NH2] = 0,001 - x = 0,001 - 4,78 times 10^-4 = 5,22 times 10^-4 , mol , L^-1

Passo 11

Além disso, podemos calcular a concentração de íons hidronio ( H3O^+) usando a relação:
[H3O^+] = Kw[OH^-] = 10^-144,78 times 10^-4 approx 2,09 times 10^-11 , mol , L^-1

Resposta

As concentrações em equilíbrio são:
[HO^-] = [CH3NH3^+] = 4,78 times 10^-4 , mol , L^-1
[H3O^+] = 2,09 times 10^-11 , mol , L^-1
[CH3NH2] = 5,22 times 10^-4 , mol , L^-1

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