Calcular
e
para que
seja solução particular da equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores de
e
de forma que a expressão seja uma solução particular da equação diferencial dada:
Nesse caso, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que serve exatamente para esse tipo de problema onde a solução particular tem uma forma específica.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução particular tem a forma proposta:
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessa função para substituir na equação diferencial. Vamos calcular a primeira e a segunda derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para eliminar
:
Somando as duas equações:
Agora, substituímos
na primeira equação original:
Resposta
Os valores são
e
.