Calcular A e B para que A cos(2 x) + B sen(2 x) seja solução particular da equação
y'' - y' + y = -13 cos(2 x) - 13 sen(2 x), x em (-infinito, infinito)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores de e de forma que a expressão seja uma solução particular da equação diferencial dada:
Nesse caso, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que serve exatamente para esse tipo de problema onde a solução particular tem uma forma específica.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução particular tem a forma proposta:
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessa função para substituir na equação diferencial. Vamos calcular a primeira e a segunda derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para eliminar :
Somando as duas equações:
Agora, substituímos na primeira equação original:

Resposta

Os valores são e .

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