Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite quando
se aproxima de
da função
. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de limites, que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de determinados pontos. Primeiro, vamos ver se substituindo
diretamente, a gente consegue resolver.
Passo 2
Vamos substituir
no numerador e no denominador para ver o que acontece:
- Numerador:
- Denominador:
Dá
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos fazer mais trabalho pra achar o limite.
Passo 3
Quando a gente tem uma forma indeterminada
, uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador pra tentar simplificar a expressão. Vamos tentar fatorar ambos.
Passo 4
Começando pelo numerador
. Vamos procurar fatores comuns ou usar o método de agrupamento:
Parece complicado, então vamos tentar encontrar uma raiz. Sabemos que
é uma raiz porque a substituição deu zero. Então
é um fator.
Passo 5
Dividindo o numerador por
usando a divisão polinomial ou fatoração, encontramos:
Passo 6
Agora, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que
é uma raiz, então
também é um fator:
E o polinômio quadrático pode ser fatorado ainda mais:
Passo 7
Agora substituímos os fatores na expressão original:
A gente pode cancelar um
que está no numerador e denominador:
Passo 8
Ainda temos
como ponto a ser avaliado, então substituímos novamente:
Ainda dá
, então precisamos fatorar mais uma vez.
Passo 9
Vamos fatorar novamente o numerador
. Testando
como raiz:
Então
é um fator:
Passo 10
Substituímos de novo na expressão:
Agora, podemos substituir
sem problema:
Resposta
O limite é
.
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e
para que
seja solução particular da equação
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