Calcule os limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite quando se aproxima de da função . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de limites, que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de determinados pontos. Primeiro, vamos ver se substituindo diretamente, a gente consegue resolver.

Passo 2

Vamos substituir no numerador e no denominador para ver o que acontece:
  • Numerador:
  • Denominador:
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos fazer mais trabalho pra achar o limite.

Passo 3

Quando a gente tem uma forma indeterminada , uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador pra tentar simplificar a expressão. Vamos tentar fatorar ambos.

Passo 4

Começando pelo numerador . Vamos procurar fatores comuns ou usar o método de agrupamento:
Parece complicado, então vamos tentar encontrar uma raiz. Sabemos que é uma raiz porque a substituição deu zero. Então é um fator.

Passo 5

Dividindo o numerador por usando a divisão polinomial ou fatoração, encontramos:

Passo 6

Agora, vamos fatorar o denominador . Sabemos que é uma raiz, então também é um fator:
E o polinômio quadrático pode ser fatorado ainda mais:

Passo 7

Agora substituímos os fatores na expressão original:
A gente pode cancelar um que está no numerador e denominador:

Passo 8

Ainda temos como ponto a ser avaliado, então substituímos novamente:
Ainda dá , então precisamos fatorar mais uma vez.

Passo 9

Vamos fatorar novamente o numerador . Testando como raiz:
Então é um fator:

Passo 10

Substituímos de novo na expressão:
Agora, podemos substituir sem problema:

Resposta

O limite é .

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