Calcule os limites: lim x -1 x^4-x^3-x^2+5 x+4x^3+4 x^2+5 x+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite quando se aproxima de da função . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de limites, que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de determinados pontos. Primeiro, vamos ver se substituindo diretamente, a gente consegue resolver.

Passo 2

Vamos substituir no numerador e no denominador para ver o que acontece:
  • Numerador:
  • Denominador:
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos fazer mais trabalho pra achar o limite.

Passo 3

Quando a gente tem uma forma indeterminada , uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador pra tentar simplificar a expressão. Vamos tentar fatorar ambos.

Passo 4

Começando pelo numerador x^4-x^3-x^2+5x+4 = x^3(x - 1) - x^2 + 5x + 4 . Vamos procurar fatores comuns ou usar o método de agrupamento:
Parece complicado, então vamos tentar encontrar uma raiz. Sabemos que é uma raiz porque a substituição deu zero. Então é um fator.

Passo 5

Dividindo o numerador por x^4-x^3-x^2+5x+4 = (x + 1)(x^3-2x^2+x+4) usando a divisão polinomial ou fatoração, encontramos:

Passo 6

Agora, vamos fatorar o denominador x^3+4x^2+5x+2 = (x + 1)(x^2+3x+2) . Sabemos que x^2+3x+2 = (x + 1)(x + 2) é uma raiz, então também é um fator:
E o polinômio quadrático pode ser fatorado ainda mais:

Passo 7

Agora substituímos os fatores na expressão original:
(x + 1)(x^3-2x^2+x+4)(x + 1)(x + 1)(x + 2)
A gente pode cancelar um x^3-2x^2+x+4(x + 1)(x + 2) que está no numerador e denominador:

Passo 8

Ainda temos (-1)^3-2(-1)^2+(-1)+4(-1 + 1)(-1 + 2) = -1 -2 -1 +40 times 1 = 00 como ponto a ser avaliado, então substituímos novamente:
Ainda dá , então precisamos fatorar mais uma vez.

Passo 9

Vamos fatorar novamente o numerador (-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 4 = -1 -2 -1 +4 = 0 . Testando x^3-2x^2+x+4 = (x + 1)(x^2-3x+4) como raiz:
Então é um fator:

Passo 10

Substituímos de novo na expressão:
(x + 1)(x^2-3x+4)(x + 1)(x + 2) = x^2-3x+4x + 2
Agora, podemos substituir (-1)^2 -3(-1) +4-1 + 2 = 1 +3 +41 = 8 sem problema:

Resposta

O limite é .

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