Calcular o cosseno do ângulo entre a reta r1
r1: x-34=y-31=z+22
e a reta r2
r2=c x=1+t y=3+t z=-5+t
Resposta: cos (theta)=raiz7 / 3

Passo 1

Vamos calcular o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar o conceito de vetores diretores das retas e a fórmula do produto escalar. Precisamos identificar os vetores diretores das retas dadas e aplicar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r1: x-34 = y-31 = z+22 e u = (4, 1, 2) .
Para a reta r2=c x=1+t y=3+t z=-5+t :
v = (1, 1, 1)
O vetor diretor de é formado pelos denominadores das frações:
Para a reta :
O vetor diretor de é dado pelos coeficientes de :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre os vetores u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz e u cdot v = 4 cdot 1 + 1 cdot 1 + 2 cdot 1 = 4 + 1 + 2 = 7 . A fórmula do produto escalar é:
Aplicando os valores:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar as módulos (ou magnitudes) dos vetores |a| = raizax^2 + ay^2 + az^2 e |u| = raiz4^2 + 1^2 + 2^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21 . A fórmula para o módulo de um vetor |v| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 é:
Calculando para :
Calculando para :

Passo 5

Por fim, vamos aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = 7raiz21 cdot raiz3 = 7raiz63 = 73raiz7 = raiz73

Resposta

cos (theta) = raiz73

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