Quais dos seguintes conjuntos formam uma base de R^3 ? Nos que formarem, escrever um vetor genérico de R^3 como combinação linear dos elementos desse conjunto.
(2,3,-1),(-2,1,1),(2,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer descobrir se o conjunto de vetores (2,3,-1), (-2,1,1), (2,0,1) forma uma base para o espaço tridimensional R^3. Para isso, precisamos lembrar que uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Se isso for verdade, também vamos ver como qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma maneira fácil de fazer isso é montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
A matriz formada pelos vetores é:
2 & -2 & 2 3 & 1 & 0 -1 & 1 & 1

Passo 3

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
det = 2 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - (-2) cdot (3 cdot 1 - (-1) cdot 0) + 2 cdot (3 cdot 1 - (-1) cdot 1)
Simplificando:
det = 2 cdot (1) - (-2) cdot (3) + 2 cdot (3 + 1) = 2 + 6 + 8 = 16
Como o determinante é 16, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para R^3.

Passo 4

Agora que sabemos que eles formam uma base, vamos expressar um vetor genérico (x, y, z) como uma combinação linear dos vetores dados. Ou seja, queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
(x, y, z) = a cdot (2, 3, -1) + b cdot (-2, 1, 1) + c cdot (2, 0, 1)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
2a - 2b + 2c = x 3a + b + 0c = y -1a + 1b + 1c = z
Vamos resolver esse sistema para a, b e c.

Passo 5

Primeiro, da segunda equação:
3a + b = y Rightarrow b = y - 3a
Substituindo b na terceira equação:
- a + (y - 3a) + c = z Rightarrow -4a + c = z - y Rightarrow c = 4a + z - y
Agora, substituindo b e c na primeira equação:
2a - 2(y - 3a) + 2(4a + z - y) = x
2a - 2y + 6a + 8a + 2z - 2y = x
(2a + 6a + 8a) + (-2y - 2y) + 2z = x
16a - 4y + 2z = x
16a = x + 4y - 2z Rightarrow a = x + 4y - 2z16 = x16 + y4 - z8
Agora, substituindo a para encontrar b e c:
b = y - 3(x16 + y4 - z8) = y - 3x16 - 3y4 + 3z8 = y4 - 3x16 + 3z8
c = 4(x16 + y4 - z8) + z - y = x4 + y - z2 + z - y = x4 + z2

Resposta

Os vetores (2,3,-1), (-2,1,1), (2,0,1) formam uma base de R^3. Qualquer vetor genérico (x, y, z) em R^3 pode ser escrito como:
(x, y, z) = (x16 + y4 - z8) cdot (2,3,-1) + (y4 - 3x16 + 3z8) cdot (-2,1,1) + (x4 + z2) cdot (2,0,1)

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