Calcular as derivadas parciais indicadas:
13)
?,
13)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. O enunciado nos dá as seguintes equações:
A matéria aqui é derivada parcial, que é uma ferramenta para ver como uma função muda quando a gente varia uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes. Vamos precisar da regra da cadeia, que nos ajuda a derivar composições de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como
depende de
e
através de
e
. Como
é uma função de
e
, e
e
são funções de
e
, precisamos usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis diz que:
E de forma similar para
.
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais passo a passo.
Primeiro, calculemos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
e
:
Para
:
Para
:
Já para as derivadas em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia para
:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Para
:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
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O iodo-131 é um isótopo radioativo muito utilizado para ajudar a detectar o bom funcionamento da tiroide. Suponha que o decaimento do iodo-131 segue o modelo dado acima e que a meia-vida (o tempo que leva para metade da substância se decompor) do iodo-131 é de aproximadamente 8 dias. Qual a quantidade de Iodo-131, em gramas, passados 4 dias?
Calcular as derivadas parciais indicadas:
18) ?
18)
Questão ( 1,5 ponto): Resolva o problema de valor inicial abaixo: