Calcular as derivadas parciais indicadas:
13) ?,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e . O enunciado nos dá as seguintes equações:
A matéria aqui é derivada parcial, que é uma ferramenta para ver como uma função muda quando a gente varia uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes. Vamos precisar da regra da cadeia, que nos ajuda a derivar composições de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como depende de e através de e . Como é uma função de e , e e são funções de e , precisamos usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis diz que:
E de forma similar para .

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais passo a passo.
Primeiro, calculemos as derivadas parciais de em relação a e :
Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a e :
Para :
Para :
Já para as derivadas em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para :
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Para :
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:

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Calcular as derivadas parciais indicadas:
18) ?
Questão ( 1,5 ponto): Resolva o problema de valor inicial abaixo: