Calcular as derivadas parciais indicadas:
18) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A gente tem uma equação que relaciona as variáveis , e , e precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . Para isso, vamos usar a técnica de derivação implícita, que é quando a gente tem uma equação envolvendo várias variáveis e quer encontrar como uma delas muda em relação a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a equação que a gente tem:
Queremos encontrar e .

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de e :
Agora, fazemos as derivadas:
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 0, porque não tem ali.
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Vamos repetir o processo, agora derivando a equação original em relação a :
As derivadas ficam:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Substituindo na equação:

Passo 6

Resolvendo para :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Calcular as derivadas parciais indicadas:
13) ?,
O iodo-131 é um isótopo radioativo muito utilizado para ajudar a detectar o bom funcionamento da tiroide. Suponha que o decaimento do iodo-131 segue o modelo dado acima e que a meia-vida (o tempo que leva para metade da substância se decompor) do iodo-131 é de aproximadamente 8 dias. Qual a quantidade de Iodo-131, em gramas, passados 4 dias?
Questão ( 1,5 ponto): Resolva o problema de valor inicial abaixo:
Se , mostre que .