Calcular as derivadas parciais indicadas:
18)
?
18)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A gente tem uma equação que relaciona as variáveis
,
e
, e precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Para isso, vamos usar a técnica de derivação implícita, que é quando a gente tem uma equação envolvendo várias variáveis e quer encontrar como uma delas muda em relação a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a equação que a gente tem:
Queremos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
e
:
Agora, fazemos as derivadas:
- A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é 0, porque não tem ali.
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Vamos repetir o processo, agora derivando a equação original em relação a
:
As derivadas ficam:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Substituindo na equação:
Passo 6
Resolvendo para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Calcular as derivadas parciais indicadas:
13) ?,
13)
O iodo-131 é um isótopo radioativo muito utilizado para ajudar a detectar o bom funcionamento da tiroide. Suponha que o decaimento do iodo-131 segue o modelo dado acima e que a meia-vida (o tempo que leva para metade da substância se decompor) do iodo-131 é de aproximadamente 8 dias. Qual a quantidade de Iodo-131, em gramas, passados 4 dias?
Questão ( 1,5 ponto): Resolva o problema de valor inicial abaixo:
Se
, mostre que
.