Para calcular a distância de um ponto situado em uma praia até um farol em uma ilha, uma pessoa utilizou o procedimento descrito a seguir. A partir de um ponto P (onde a pessoa estava inicialmente), caminhou até um ponto Q, distante 1 km de P, de onde também se pode ver a ilha. Mediu os ângulos PQF e QPF, obtendo respectivamente 110° e 50°. Qual é a distância aproximada entre o ponto P e o farol F? Se necessário, use sen 50º = 0,77, cos 50º = 0,64 e tg 20° = 0,36.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de trigonometria envolvendo um triângulo formado pelos pontos P, Q e F. A pessoa caminhou 1 km de P até Q e mediu dois ângulos no triângulo: PQF é 110° e QPF é 50°. A gente precisa descobrir qual é a distância entre P e o farol F. Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Senos, que relaciona os lados e os ângulos de um triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o triângulo. Imagine que P é onde a pessoa começou, Q é o ponto para onde ela caminhou 1 km, e F é o farol na ilha. Temos:
- PQ = 1 km
- Ângulo em Q (PQF) = 110°
- Ângulo em P (QPF) = 50°
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, o ângulo em F será:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei dos Senos, que diz que em qualquer triângulo:
Aqui, queremos encontrar a distância PF, que corresponde ao lado oposto ao ângulo em Q. Então, podemos escrever:
Passo 4
Vamos isolar PF na equação:
Sabemos que PQ = 1 km. Também precisamos encontrar
. Sabemos que:
E a gente já tem que
pode ser calculado usando o
. Sabemos que:
Como não temos
, mas sabemos que
, podemos calcular:
Passo 5
Agora, substituindo os valores encontrados:
Resposta
A distância aproximada entre o ponto P e o farol F é de 2,76 km.