Para calcular a distância de um ponto situado em uma praia até um farol em uma ilha, uma pessoa utilizou o procedimento descrito a seguir. A partir de um ponto P (onde a pessoa estava inicialmente), caminhou até um ponto Q, distante 1 km de P, de onde também se pode ver a ilha. Mediu os ângulos PQF e QPF, obtendo respectivamente 110° e 50°. Qual é a distância aproximada entre o ponto P e o farol F? Se necessário, use sen 50º = 0,77, cos 50º = 0,64 e tg 20° = 0,36.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de trigonometria envolvendo um triângulo formado pelos pontos P, Q e F. A pessoa caminhou 1 km de P até Q e mediu dois ângulos no triângulo: PQF é 110° e QPF é 50°. A gente precisa descobrir qual é a distância entre P e o farol F. Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Senos, que relaciona os lados e os ângulos de um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo. Imagine que P é onde a pessoa começou, Q é o ponto para onde ela caminhou 1 km, e F é o farol na ilha. Temos:
  • PQ = 1 km
  • Ângulo em Q (PQF) = 110°
  • Ângulo em P (QPF) = 50°
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, o ângulo em F será:
ang<= F = 180° - 110° - 50° = 20°

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei dos Senos, que diz que em qualquer triângulo:
asin A = bsin B = csin C
Aqui, queremos encontrar a distância PF, que corresponde ao lado oposto ao ângulo em Q. Então, podemos escrever:
PFsin 110° = PQsin 20°

Passo 4

Vamos isolar PF na equação:
PF = PQ cdot sin 110°sin 20°
Sabemos que PQ = 1 km. Também precisamos encontrar sin 110°. Sabemos que:
sin 110° = sin (180° - 70°) = sin 70° approx 0,94
E a gente já tem que sin 20° pode ser calculado usando o tan 20° = 0,36. Sabemos que:
tan theta = sin thetacos theta Rightarrow sin theta = tan theta cdot cos theta
Como não temos cos 20°, mas sabemos que sin^2 theta + cos^2 theta = 1, podemos calcular:
sin 20° = tan 20°raiz1 + tan^2 20° = 0,36raiz1 + 0,1296 approx 0,361,064 approx 0,34

Passo 5

Agora, substituindo os valores encontrados:
PF = 1 cdot 0,940,34 approx 0,940,34 approx 2,76 km

Resposta

A distância aproximada entre o ponto P e o farol F é de 2,76 km.

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