Uma cultura de bactérias foi estudada por um grupo de cientistas, constatando que número de indivíduos na população era dado pela função N (t) = 10^8 .8²t, em que N (t) é o número de bactérias e o tempo, em horas, decorridos desde o início do estudo da cultura. O tempo necessário para a população atingir o número de 512. 10^8 bactérias é:

Passo 1

Então, a gente tem uma cultura de bactérias que cresce conforme a função $ N(t) = 10^8 \times 8^{2t} $, onde $ N(t) $ é o número de bactérias e $ t $ é o tempo em horas. A pergunta é: quanto tempo vai levar para a população chegar a $ 512 \times 10^8 $ bactérias?
Aqui, vamos trabalhar com funções exponenciais e resolver uma equação exponencial. Precisamos usar logaritmos para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função ao valor que a gente quer alcançar:
10^8 times 8^2t = 512 times 10^8

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação dividindo os dois lados por $ 10^8 $:
10^8

Passo 4

Aí, a gente percebe que $ 512 $ pode ser escrito como uma potência de $ 8 $. Sabemos que:
512
Então, podemos substituir:
8

Passo 5

Como as bases são iguais, os expoentes também têm que ser iguais. Assim:
2t = 3

Passo 6

Agora, é só resolver para $ t $:
t
t = 32

Resposta

O tempo necessário para a população atingir $ 512 \times 10^8 $ bactérias é de 1,5 horas.

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