Calcular F^prime(x) nos seguintes casos: F(x)=x integral2^x^2 sen(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a derivada de funções que envolvem integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, identifique que é o produto de duas funções:
Para derivar , vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de u'(x) = 1 :
Isso é bem simples porque a derivada de em relação a é 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de . Aqui, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos v'(x) = f(g(x)) cdot g'(x) , então:
v'(x) = sen(x^2) cdot ddx(x^2) = sen(x^2) cdot 2x
No nosso caso, e . Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto:
F'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:

Resposta

A derivada de F'(x) = integral2^x^2 sen(t) , dt + 2x^2 sen(x^2) é:

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