Calcular integral duplaR raiz(x-1)^2+(y-1)^2 d x d y, onde R é a região delimitada por (x-1)^2+ (y-1)^2=1
Diva Calculo B p7.8.12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de raiz(x-1)^2+(y-1)^2 sobre a região R, que é um círculo com centro em (1,1) e raio 1, ou seja, (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, mas deslocadas para o centro desse círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a vida fazendo uma mudança de coordenadas. Vamos definir u = x - 1 e v = y - 1. Assim, o círculo R passa a ser definido por u^2 + v^2 = 1, que é um círculo com centro na origem (0,0) e raio 1. Nossa integral agora fica:
integral duplau^2 + v^2 <= 1 raizu^2 + v^2 , du , dv

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Em coordenadas polares, u = rcostheta e v = rsintheta, e o elemento de área du , dv vira r , dr , dtheta. A integral fica:
integral0^2pi integral0^1 r times r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^2 , dr , dtheta
Aqui, r vai de 0 até 1 porque nosso raio é 1, e theta vai de 0 até 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^1 r^2 , dr = [r^33]0^1 = 13
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^2pi 13 , dtheta = 13 times 2pi = 2pi3

Resposta

O valor da integral dupla é dfrac2pi3.

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