Calcular , onde é a região delimitada por
Diva Calculo B p7.8.12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é um círculo com centro em (1,1) e raio 1, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, mas deslocadas para o centro desse círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a vida fazendo uma mudança de coordenadas. Vamos definir e . Assim, o círculo passa a ser definido por , que é um círculo com centro na origem (0,0) e raio 1. Nossa integral agora fica:

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Em coordenadas polares, e , e o elemento de área vira . A integral fica:
Aqui, vai de 0 até 1 porque nosso raio é 1, e vai de 0 até para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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