Calcular
, onde
é a região delimitada por
Diva Calculo B p7.8.12
Diva Calculo B p7.8.12
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um círculo com centro em (1,1) e raio 1, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, mas deslocadas para o centro desse círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a vida fazendo uma mudança de coordenadas. Vamos definir
e
. Assim, o círculo
passa a ser definido por
, que é um círculo com centro na origem (0,0) e raio 1. Nossa integral agora fica:
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
vira
. A integral fica:
Aqui,
vai de 0 até 1 porque nosso raio é 1, e
vai de 0 até
para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Resposta
O valor da integral dupla é
.