Calcular integral duplaR y d A, sendo R a região delimitada por x=0, x=y^2+1, y=2 e y=-2. Resposta: 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que calcular a integral dupla integral duplaR y , dA, onde a região R é delimitada pelas curvas x=0, x=y^2+1, y=2 e y=-2. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de áreas e integrais múltiplas, especialmente no contexto de geometria analítica.

Passo 2

Vamos começar identificando a região R no plano cartesiano. As curvas que definem R são:
  • x = 0: é o eixo y.
  • x = y^2 + 1: é uma parábola que abre para a direita, deslocada 1 unidade para a direita.
  • y = 2 e y = -2: são linhas horizontais que limitam a região verticalmente.

Passo 3

Desenhando essas curvas, percebemos que a região R está entre y = -2 e y = 2, e entre x = 0 e x = y^2 + 1. Isso significa que para cada valor de y entre -2 e 2, x varia de 0 até y^2 + 1.

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla. Em termos de y, temos que y varia de -2 a 2, e para cada y, x varia de 0 a y^2 + 1. Portanto, a integral fica:
integral duplaR y , dA = integraly=-2^2 integralx=0^y^2 + 1 y , dx , dy

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a x. Como y é tratado como constante em relação a x, temos:
integral0^y^2 + 1 y , dx = y cdot (x) |0^y^2 + 1 = y cdot (y^2 + 1 - 0) = y^3 + y

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-2^2 (y^3 + y) , dy

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral-2^2 y^3 , dy + integral-2^2 y , dy
Sabemos que a integral de uma função ímpar ( y^3 e y são ímpares) em um intervalo simétrico em relação à origem ( -2 a 2) é zero. Portanto:
integral-2^2 y^3 , dy = 0 e integral-2^2 y , dy = 0

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é 0.

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