Calcular , sendo a região delimitada por . Resposta: 0
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pelas curvas , , e . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de áreas e integrais múltiplas, especialmente no contexto de geometria analítica.
Passo 2
Vamos começar identificando a região no plano cartesiano. As curvas que definem são:
: é o eixo .
: é uma parábola que abre para a direita, deslocada 1 unidade para a direita.
e : são linhas horizontais que limitam a região verticalmente.
Passo 3
Desenhando essas curvas, percebemos que a região está entre e , e entre e . Isso significa que para cada valor de entre e , varia de até .
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla. Em termos de , temos que varia de a , e para cada , varia de a . Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a . Como é tratado como constante em relação a , temos:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-2^2 (y^3 + y) , dy
Passo 7
Vamos calcular a integral:
integral-2^2 y^3 , dy + integral-2^2 y , dy
Sabemos que a integral de uma função ímpar (y^3 e y são ímpares) em um intervalo simétrico em relação à origem (-2 a 2) é zero. Portanto:
integral-2^2 y^3 , dy = 0 e integral-2^2 y , dy = 0