(a) Mostre que as intersecções com os eixos
e
de uma reta são os números
e
diferentes de zero, então a equação da reta pode ser colocada na forma
Esta equação é chamada a forma a partir das duas intersecções da equação de uma reta.
(b) Use a parte (a) para encontrar a equação da reta cuja intersecção com o eixo
é 6 e cuja intersecção com o eixo
é -8 .
(b) Use a parte (a) para encontrar a equação da reta cuja intersecção com o eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partes aqui. Na primeira, precisamos mostrar que se uma reta corta os eixos x e y nos pontos a e b (que são diferentes de zero), então a equação dela pode ser escrita como
. Isso faz parte do conteúdo de geometria analítica, onde estudamos equações de retas. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma reta intercepta os eixos e como isso se reflete na equação da reta.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). Imagine uma reta que corta o eixo x no ponto
e o eixo y no ponto
. Esses pontos são chamados de interceptos da reta. Agora, para encontrar a equação da reta, podemos usar a forma intercepto, que relaciona esses pontos à equação da reta.
Na forma geral, uma reta pode ser descrita por
, onde
é o coeficiente angular e
é o coeficiente linear. Porém, quando conhecemos os interceptos, podemos expressar a equação de uma maneira mais direta.
Sabemos que no ponto
, quando
,
. E no ponto
, quando
,
. Se a gente dividir
por
e
por
e somar, deve dar 1 nessa relação porque:
Então, a equação que satisfaz essas condições é:
Isso mostra que a reta pode ser representada nessa forma baseada nos interceptos com os eixos.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a equação da reta que corta o eixo x no ponto 6 e o eixo y no ponto -8. Aqui,
e
.
Usando a forma intercepto que derivamos na parte (a):
Substituindo
e
pelos valores dados:
Podemos simplificar essa equação para deixá-la em uma forma mais convencional. Multiplicando todos os termos por 24 (que é o mínimo múltiplo comum de 6 e 8) para eliminar os denominadores:
Simplificando cada termo:
Essa é a equação da reta desejada em forma geral.
Resposta
A equação da reta é
.
Exercícios relacionados
Mostre que as retas
e
são perpendiculares e ache o seu ponto de intersecção.
Resolva o PVI
.
Determine: i) O oposto de
Calcular
, sendo
a região delimitada por
. Resposta: 0