Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta uma equação diferencial da forma:
E nos diz que
. O tema principal aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para que ela fique no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Nossa equação original é:
Para chegar no formato padrão, vamos dividir todos os termos por
, assumindo que
:
Agora, temos:
Onde:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular:
Como constante de integração não afeta o fator integrante, podemos ignorar
. Então:
Como
, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de
:
Passo 5
Para resolver, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é:
Então:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Passo 7
Para determinar a constante
, usamos a condição inicial
.
Substituindo
na expressão de
:
Calculando:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: