Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta uma equação diferencial da forma:
E nos diz que . O tema principal aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para que ela fique no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Nossa equação original é:
Para chegar no formato padrão, vamos dividir todos os termos por , assumindo que :
Agora, temos:
Onde:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular:
Como constante de integração não afeta o fator integrante, podemos ignorar . Então:
Como , podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de :

Passo 5

Para resolver, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito é:
Então:

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Passo 7

Para determinar a constante , usamos a condição inicial .
Substituindo na expressão de :
Calculando:
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

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