Calcular o trabalho para levar uma carga de 10 C, num campo E = x a x, do ponto (5,0,0 ), até (0,5,0), com a trajetória feita ao longo de:
Círculo x^2+y^2=25

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o trabalho para mover uma carga de 10 C em um campo elétrico dado por E = x, ax. A carga vai do ponto (5, 0, 0) até (0, 5, 0) seguindo um caminho que está no círculo x^2 + y^2 = 25. Aqui, vamos usar conceitos de trabalho elétrico e campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho W feito pelo campo elétrico ao mover uma carga q ao longo de um caminho C é dado por:
W = q integralC E cdot ds
Onde:
  • q é a carga (10 C)
  • E é o campo elétrico
  • ds é o elemento de deslocamento ao longo do caminho

Passo 3

Vamos parametrizar o caminho no círculo x^2 + y^2 = 25. Podemos usar ângulos para descrever o movimento. Como o ponto inicial é (5, 0, 0) e o final é (0, 5, 0), vamos percorrer um quarto de círculo (90 graus ou pi2 radianos).
Usando a parametrização:
x = 5 cos theta
y = 5 sin theta
z = 0
Onde theta vai de 0 a pi2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar ds, que é o vetor deslocamento. Derivando x e y em relação a theta:
dx = -5 sin theta, dtheta
dy = 5 cos theta, dtheta
dz = 0
Então:
ds = (-5 sin theta, ax + 5 cos theta, ay) dtheta

Passo 5

O campo elétrico E = x, ax. Substituindo a parametrização:
E = 5 cos theta, ax

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar E cdot ds:
E cdot ds = (5 cos theta, ax) cdot (-5 sin theta, ax + 5 cos theta, ay) dtheta
= 5 cos theta times (-5 sin theta) + 5 cos theta times 5 cos theta times 0 (porque ax cdot ay = 0)
= -25 cos theta sin theta, dtheta

Passo 7

Agora, integramos de theta = 0 a theta = pi2:
W = q integral0^pi2 -25 cos theta sin theta, dtheta
Substituindo q = 10 C:
W = 10 times (-25) integral0^pi2 cos theta sin theta, dtheta
W = -250 integral0^pi2 cos theta sin theta, dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral integral cos theta sin theta, dtheta. Podemos usar a substituição u = sin theta, então du = cos theta, dtheta:
integral cos theta sin theta, dtheta = integral u, du = u^22 + C = sin^2 theta2 + C
Então, avaliando de 0 a pi2:
[ sin^2 theta2 ]0^pi2 = sin^2 (pi2)2 - sin^2(0)2 = 12 - 0 = 12

Passo 9

Agora, substituímos de volta na expressão do trabalho:
W = -250 times 12 = -125 , J

Resposta

O trabalho necessário para mover a carga de 10 C ao longo do caminho especificado é -125 joules.

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