A lei de Coulomb relaciona a força de interação entre cargas elétrica e é dada por Fel=k e^2d^2 onde k é uma constante (chamada de constante eletrostática), d é a distância que separa as cargas e e é a carga elétrica elementar, cuja sua unidade é Coulomb ( C ). Usando o sistema internacional de medidas, determine a dimensão da constante k utilizando análise dimensional.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas. A equação é $ F_{el} = k \frac{e{2}}{d{2}} $, onde:
  • $ F_{el} $ é a força elétrica,
  • $ k $ é a constante eletrostática que queremos descobrir as dimensões,
  • $ e $ é a carga elétrica elementar,
  • $ d $ é a distância entre as cargas.
Vamos usar a análise dimensional para encontrar as dimensões da constante $ k $ no Sistema Internacional de Unidades (SI).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das dimensões de cada grandeza envolvida na equação.
  • Força elétrica ($ F_{el} $): A força tem dimensão de massa vezes aceleração. No SI, é medida em Newtons (N), e sua dimensão é:
    Fel
    onde:
    • $ [M] $ = massa,
    • $ [L] $ = comprimento,
    • $ [T] $ = tempo.
  • **Carga elétrica ($ e [F] = [M][L][T^-2] é I $) é medida em Ampères (A), e a carga é relacionada ao tempo pela fórmula $ Q = I \times t $. Então:
    [M]
  • Distância ($ d $): É medida em metros (m), então:
    [L]

Passo 3

Agora, vamos substituir essas dimensões na equação da Lei de Coulomb:
[F] = [k] [e]^2[d]^2
Substituindo as dimensões que já identificamos:
[M][L][T^-2] = [k] ([I][T])^2[L]^2
Simplificando o lado direito:
[M][L][T^-2] = [k] [I]^2 [T]^2[L]^2

Passo 4

Agora, queremos isolar a dimensão de $ k $. Para isso, vamos rearranjar a equação:
k
Multiplicando os termos:
[k] = [M][L][T^-2] times [L]^2[I]^2 [T]^2
Simplificando os termos de tempo:
[k] = [M][L]^3 [T^-2][I]^2 [T]^2

Resposta

A dimensão da constante $ k $ no Sistema Internacional de Unidades é:
k

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