A aceleração do foguete possui as componentes ax (t)=alpha t^2 e ay (t)=beta-phi t, onde alpha=2,50 m / s^4, beta=9,0 m / s^2; ephi=1,40 m / s^3. Para t=0, o foguete está na origem e possui velocidade sendo ves=1,0 m / se vts=7,0 m / s.
determine o vetor velocidade e o vetor posição em função do tempo;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um foguete que está acelerando com duas componentes: uma na direção x e outra na direção y. As equações das acelerações são:
ax(t) = alpha t^2 e ay(t) = beta - phi t
Onde:
  • alpha = 2,50 , m/s^4
  • beta = 9,0 , m/s^2
  • phi = 1,40 , m/s^3
Além disso, no tempo inicial t = 0, o foguete está na origem (0,0) e tem uma velocidade inicial:
vx(0) = 1,0 , m/s e vy(0) = 7,0 , m/s
Nosso objetivo é encontrar as funções que descrevem o vetor velocidade v(t) e o vetor posição r(t) do foguete em função do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a integração da aceleração para obter a velocidade e, depois, integrar a velocidade para obter a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as componentes da velocidade v(t). Isso é feito integrando as funções de aceleração em relação ao tempo.
Começamos com a componente x:
ax(t) = alpha t^2 = 2,50 , t^2
Integrando ax(t) em relação a t:
vx(t) = integral ax(t) , dt = integral 2,50 , t^2 , dt = 2,503 , t^3 + Cx
Onde Cx é a constante de integração. Sabemos que vx(0) = 1,0 , m/s, então:
1,0 = 2,503 cdot 0^3 + Cx Rightarrow Cx = 1,0
Portanto, a componente x da velocidade é:
vx(t) = 2,503 , t^3 + 1,0

Passo 3

Agora, vamos encontrar a componente y da velocidade:
ay(t) = beta - phi t = 9,0 - 1,40 , t
Integrando ay(t) em relação a t:
vy(t) = integral ay(t) , dt = integral (9,0 - 1,40 , t) , dt = 9,0 , t - 1,402 , t^2 + Cy
Simplificando:
vy(t) = 9,0 , t - 0,70 , t^2 + Cy
Sabendo que vy(0) = 7,0 , m/s:
7,0 = 9,0 cdot 0 - 0,70 cdot 0^2 + Cy Rightarrow Cy = 7,0
Portanto, a componente y da velocidade é:
vy(t) = 9,0 , t - 0,70 , t^2 + 7,0

Passo 4

Agora que temos as componentes da velocidade, vamos montar o vetor velocidade v(t):
v(t) = lang<= vx(t), vy(t) rang<= = lang<= 2,503 , t^3 + 1,0, , 9,0 , t - 0,70 , t^2 + 7,0 rang<=

Passo 5

Para encontrar o vetor posição r(t), precisamos integrar as componentes da velocidade em relação ao tempo.
Começamos com a componente x:
vx(t) = 2,503 , t^3 + 1,0
Integrando vx(t):
x(t) = integral vx(t) , dt = integral ( 2,503 , t^3 + 1,0 ) , dt = 2,5012 , t^4 + 1,0 , t + Dx
Simplificando:
x(t) = 0,2083 , t^4 + 1,0 , t + Dx
Como x(0) = 0:
0 = 0,2083 cdot 0^4 + 1,0 cdot 0 + Dx Rightarrow Dx = 0
Portanto:
x(t) = 0,2083 , t^4 + 1,0 , t
Agora, a componente y:
vy(t) = 9,0 , t - 0,70 , t^2 + 7,0
Integrando vy(t):
y(t) = integral vy(t) , dt = integral ( 9,0 , t - 0,70 , t^2 + 7,0 ) , dt = 9,02 , t^2 - 0,703 , t^3 + 7,0 , t + Dy
Simplificando:
y(t) = 4,5 , t^2 - 0,2333 , t^3 + 7,0 , t + Dy
Como y(0) = 0:
0 = 4,5 cdot 0^2 - 0,2333 cdot 0^3 + 7,0 cdot 0 + Dy Rightarrow Dy = 0
Portanto:
y(t) = 4,5 , t^2 - 0,2333 , t^3 + 7,0 , t

Resposta

O vetor velocidade em função do tempo é:
v(t) = lang<= 2,503 , t^3 + 1,0, , 9,0 , t - 0,70 , t^2 + 7,0 rang<= , m/s
E o vetor posição em função do tempo é:
r(t) = lang<= 0,2083 , t^4 + 1,0 , t, , 4,5 , t^2 - 0,2333 , t^3 + 7,0 , t rang<= , m

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