Calcule:
(e) -1/2 cos(x^2) + k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a expressão . Aqui, estamos lidando com cálculo, mais especificamente com integrais. Vamos precisar usar técnicas de integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos integrar. No caso, parece que estamos procurando a antiderivada de uma função envolvendo . A expressão dada, , sugere que já foi encontrada a integral dessa função.

Passo 3

Para encontrar a integral de , podemos usar uma substituição. Vamos definir . Assim, a derivada de u em relação a x é , ou seja, . Isso nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral original usando a substituição:
Perceba que ainda temos um x no denominador. Mas como , podemos substituir x por , mas isso complica as coisas. Na verdade, a integral de não possui uma antiderivada expressa em funções elementares, ou seja, não podemos escrever a integral de forma simples usando apenas funções básicas.

Passo 5

Por isso, usamos uma constante de integração k para representar a solução geral da integral. A expressão é uma forma de representar essa antiderivada, embora tecnicamente precise do uso de funções especiais para uma expressão exata.

Resposta

A integral de é , onde k é a constante de integração.

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(o) -1/(8*(1+4*x^2))+k
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I) Fazendo u=tg x II) Fazendo v=sec x.
Explique a diferença entre as duas respostas obtidas.