Calcule integral tg x sec ^2 x d x por dois métodos:
I) Fazendo u=tg x II) Fazendo v=sec x.
Explique a diferença entre as duas respostas obtidas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando dois métodos diferentes de substituição. Aqui, vamos aplicar o conteúdo de cálculo integral, especificamente o método de substituição (também conhecido como mudança de variável). Precisaremos lembrar das derivadas de e para escolher bem nossas substituições.

Passo 2

Método I: Fazendo du = sec^2 x , dx
Primeiro, vamos substituir integral tan x sec^2 x , dx = integral u , du por .
Sabemos que a derivada de é , ou seja:
Agora, substituímos na integral:

Passo 3

Integrando integral u , du = u^22 + C :
tan^2 x2 + C
Substituindo de volta:

Passo 4

Método II: Fazendo dv = sec x tan x , dx
Agora, vamos tentar a substituição integral sec x cdot tan x cdot sec x , dx = integral sec x , dv .
Sabemos que a derivada de é , então:
Observando a integral original , percebemos que podemos reescrevê-la como:

Passo 5

Usando a substituição, temos:
integral sec x , dv = sec x cdot v - integral v cdot d(sec x)
Mas sec x cdot sec x - integral sec x cdot sec x tan x , dx = sec^2 x - integral sec^2 x tan x , dx e I = sec^2 x - I , então:
2I = sec^2 x
Isso nos leva a uma equação onde a integral aparece dos dois lados:
I = sec^2 x2 + C

Resposta

Usando o primeiro método, a integral é , e pelo segundo método, obtemos . A diferença entre as respostas está na forma das funções trigonométricas, mas ambas representam antiderivadas válidas da função original, já que , diferenciando-se apenas por uma constante que é absorvida na constante de integração .

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