Calcule
por dois métodos:
I) Fazendo
II) Fazendo
.
Explique a diferença entre as duas respostas obtidas.
I) Fazendo
Explique a diferença entre as duas respostas obtidas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando dois métodos diferentes de substituição. Aqui, vamos aplicar o conteúdo de cálculo integral, especificamente o método de substituição (também conhecido como mudança de variável). Precisaremos lembrar das derivadas de
e
para escolher bem nossas substituições.
Passo 2
Método I: Fazendo
Primeiro, vamos substituir
por
.
Sabemos que a derivada de
é
, ou seja:
Agora, substituímos na integral:
Passo 3
Integrando
:
Substituindo
de volta:
Passo 4
Método II: Fazendo
Agora, vamos tentar a substituição
.
Sabemos que a derivada de
é
, então:
Observando a integral original
, percebemos que podemos reescrevê-la como:
Passo 5
Usando a substituição, temos:
Mas
e
, então:
Isso nos leva a uma equação onde a integral aparece dos dois lados:
Resposta
Usando o primeiro método, a integral é
, e pelo segundo método, obtemos
. A diferença entre as respostas está na forma das funções trigonométricas, mas ambas representam antiderivadas válidas da função original, já que
, diferenciando-se apenas por uma constante que é absorvida na constante de integração
.
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