Calcule o ângulo entre os vetores
e
abaixo no produto interno indicado:
dados por
, no produto interno
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o ângulo entre dois vetores
e
no espaço de funções contínuas
usando um produto interno específico. O conteúdo envolvido aqui é o produto interno de funções e como ele nos ajuda a encontrar o ângulo entre vetores nesse espaço. Para resolver, vamos precisar calcular integrais das funções dadas e aplicar a fórmula do ângulo em espaços com produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto interno entre
e
. O produto interno é definido como:
No nosso caso,
e
. Então,
Passo 3
Vamos calcular a integral
. A antiderivada de
é
. Avaliando entre 0 e 1:
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de cada vetor, que é a raiz quadrada do produto interno de cada vetor consigo mesmo.
Para
:
A antiderivada de
é
. Assim,
Portanto, a norma de
é:
Passo 5
Para
:
A antiderivada de
é
. Assim,
Portanto, a norma de
é:
Passo 6
Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores no espaço com produto interno:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando os denominadores:
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é dado por: