Calcule o ângulo entre os vetores u e v abaixo no produto interno indicado:
u=f:[0,1] R, v=g:[0,1] R dados por f(t)=e^t, g(t)=e^2 t, no produto interno lang<= h1, h2rang<==integral0^1 h1(t) h2(t) d t em C([0,1], R)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o ângulo entre dois vetores e no espaço de funções contínuas usando um produto interno específico. O conteúdo envolvido aqui é o produto interno de funções e como ele nos ajuda a encontrar o ângulo entre vetores nesse espaço. Para resolver, vamos precisar calcular integrais das funções dadas e aplicar a fórmula do ângulo em espaços com produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto interno entre lang<= u, v rang<= = integral0^1 u(t) cdot v(t) , dt e lang<= u, v rang<= = integral0^1 e^t cdot e^2t , dt = integral0^1 e^3t , dt . O produto interno é definido como:
No nosso caso, e . Então,

Passo 3

Vamos calcular a integral lang<= u, v rang<= = [ 13 e^3t ]0^1 = 13 e^3 - 13 e^0 = e^3 - 13 . A antiderivada de é . Avaliando entre 0 e 1:

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de cada vetor, que é a raiz quadrada do produto interno de cada vetor consigo mesmo.
Para lang<= u, u rang<= = integral0^1 e^t cdot e^t , dt = integral0^1 e^2t , dt :
lang<= u, u rang<= = [ 12 e^2t ]0^1 = e^2 - 12
A antiderivada de |u| = raize^2 - 12 é . Assim,
Portanto, a norma de é:

Passo 5

Para lang<= v, v rang<= = integral0^1 e^2t cdot e^2t , dt = integral0^1 e^4t , dt :
lang<= v, v rang<= = [ 14 e^4t ]0^1 = e^4 - 14
A antiderivada de |v| = raize^4 - 14 é . Assim,
Portanto, a norma de é:

Passo 6

Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores no espaço com produto interno:
cos theta = lang<= u, v rang<=|u| cdot |v|
Substituindo os valores que encontramos:
cos theta = e^3 - 13raize^2 - 12 cdot raize^4 - 14
Simplificando os denominadores:
cos theta = e^3 - 13raiz(e^2 - 1)(e^4 - 1)8 = e^3 - 13raiz(e^2 - 1)(e^4 - 1)2raiz2 = 2raiz2(e^3 - 1)3raiz(e^2 - 1)(e^4 - 1)

Resposta

O ângulo entre os vetores theta = arccos( 2raiz2(e^3 - 1)3raiz(e^2 - 1)(e^4 - 1) ) e é dado por:

Exercícios relacionados