Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando quais conjuntos são subespaços vetoriais de W = a & b c & d in M(2,2) g| a + d <= b + c , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2. Especificamente, estamos olhando para o conjunto:
Para resolver isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
Contém o vetor zero de .
É fechado sob adição, ou seja, se e estão em , então também está em .
É fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada um desses passos para .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto 0 & 0 0 & 0 contém o vetor zero. O vetor zero em 0 + 0 <= 0 + 0 Rightarrow 0 <= 0 é a matriz:
Substituindo na condição :
Isso é verdade! Então, o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, vamos ver se A = a & b c & d in W e B = e & f g & h in W é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes A + B = a + e & b + f c + g & d + h e (a + e) + (d + h) <= (b + f) + (c + g) em (a + d) + (e + h) <= (b + c) + (f + g) , a soma a + d <= b + c e e + h <= f + g também deve estar em (a + d) + (e + h) <= (b + c) + (f + g) .
Seja:
Então, a soma é:
Para estar em , precisamos que:
Simplificando:
Sabemos que e estão em , então:
Somando essas duas desigualdades:
Então, a condição é satisfeita! Portanto, é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se A = a & b c & d in W e k in R é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos uma matriz k cdot A = k a & k b k c & k d e um escalar (k a) + (k d) <= (k b) + (k c) , a matriz k(a + d) <= k(b + c) também deve estar em a + d <= b + c .
Seja:
k(a + d) >= k(b + c)
Então, é:
Para estar em , precisamos que:
Fatorando :
Agora, aqui é onde fica a dúvida. Se for um número positivo, a desigualdade se mantém:
Mas, se for um número negativo, a desigualdade se inverte:
Isso significa que nem sempre estará em , já que a condição pode não ser satisfeita para qualquer escalar .
Resposta
Como não é fechado sob multiplicação por escalar (especialmente para escalares negativos), não é um subespaço vetorial de .