Dada a quádrica A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0, o ângulo theta de rotação (no sentido anti-horário) que elimina o termo x y é dado por cot (2 theta)=(A-C) / B. Use esse resultado para eliminar o termo x y a partir de uma rotação dos eixos coordenados. x^2-2 x y+y^2-4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação quadrática com um termo cruzado x y e a ideia é eliminar esse termo usando uma rotação dos eixos coordenados. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre rotação de coordenadas e como calcular o ângulo que faz isso acontecer.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação geral quadrática: A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0. No nosso caso, a equação é:
x^2 - 2 x y + y^2 - 4 = 0
Aqui, temos:
  • A = 1
  • B = -2
  • C = 1
  • D = 0
  • E = 0
  • F = -4

Passo 3

Agora, vamos calcular o ângulo theta que vai eliminar o termo x y. A fórmula que usamos é:
cot(2theta) = A - CB
Substituindo os valores:
cot(2theta) = 1 - 1-2 = 0-2 = 0
Sabemos que cot(2theta) = 0 quando 2theta = 90^circ, ou seja, theta = 45^circ.

Passo 4

Com o ângulo theta = 45^circ, vamos fazer a rotação dos eixos. As novas coordenadas (x', y') estão relacionadas com as antigas (x, y) por:
x = x' costheta - y' sintheta y = x' sintheta + y' costheta
Como theta = 45^circ, temos costheta = sintheta = raiz22. Substituindo na equação:
x = raiz22x' - raiz22y' y = raiz22x' + raiz22y'

Passo 5

Vamos substituir x e y na equação original:
(raiz22x' - raiz22y')^2 - 2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + (raiz22x' + raiz22y')^2 - 4 = 0
Fazendo as contas e simplificando, você verá que o termo x'y' vai desaparecer, deixando uma equação somente com x'^2 e y'^2. Após simplificar, a equação fica:
y'^2 - 4 = 0

Resposta

Após a rotação dos eixos, a equação sem o termo x y fica:
y'^2 - 4 = 0

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