Dada a quádrica
, o ângulo
de rotação (no sentido anti-horário) que elimina o termo
é dado por
. Use esse resultado para eliminar o termo
a partir de uma rotação dos eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação quadrática com um termo cruzado
e a ideia é eliminar esse termo usando uma rotação dos eixos coordenados. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre rotação de coordenadas e como calcular o ângulo que faz isso acontecer.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação geral quadrática:
. No nosso caso, a equação é:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o ângulo
que vai eliminar o termo
. A fórmula que usamos é:
Substituindo os valores:
Sabemos que
quando
, ou seja,
.
Passo 4
Com o ângulo
, vamos fazer a rotação dos eixos. As novas coordenadas
estão relacionadas com as antigas
por:
Como
, temos
. Substituindo na equação:
Passo 5
Vamos substituir
e
na equação original:
Fazendo as contas e simplificando, você verá que o termo
vai desaparecer, deixando uma equação somente com
e
. Após simplificar, a equação fica:
Resposta
Após a rotação dos eixos, a equação sem o termo
fica: