Calcule a área do conjunto dado.
Passo 1
Vamos calcular a área do conjunto dado. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente uma integral dupla, para encontrar a área de uma região no plano. Precisamos identificar os limites de
e
que definem essa região e usar a fórmula da área através de uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de
e
. O conjunto
está definido para
e, para cada valor de
,
varia de
até
. Isso significa que, para cada
entre 0 e 2, o valor de
vai de 0 até
.
Passo 3
Para encontrar a área, configuramos uma integral dupla. Podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. A fórmula fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Então, a área agora é:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos usar uma substituição simples para facilitar. Seja:
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Passo 7
A integral de
é o logaritmo natural:
Como
, fica:
Resposta
A área do conjunto dado é
unidades quadradas.