Calcule a área do conjunto dado.
A = {(x, y) em R^2 | 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= x / (1 + x^2)}

Passo 1

Vamos calcular a área do conjunto dado. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente uma integral dupla, para encontrar a área de uma região no plano. Precisamos identificar os limites de e que definem essa região e usar a fórmula da área através de uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de e . O conjunto está definido para e, para cada valor de , varia de até . Isso significa que, para cada entre 0 e 2, o valor de vai de 0 até .

Passo 3

Para encontrar a área, configuramos uma integral dupla. Podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . A fórmula fica assim:
Á

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Então, a área agora é:
Á

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral . Vamos usar uma substituição simples para facilitar. Seja:

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
Á

Passo 7

A integral de é o logaritmo natural:
Como , fica:

Resposta

A área do conjunto dado é unidades quadradas.

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